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15.如图,直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于B、C两点,且3BO-$\frac{1}{2}$CO=1
(1)求点B的坐标及k的值;
(2)若点A(x,y)是第一象限内的直线y=kx-1上的一个动点,在点A的运动过程中,试写出△AOB的面积S与x之间的函数解析式;
(3)探索:当点A运动到什么位置时,△AOB的面积是$\frac{1}{4}$?

分析 (1)利用坐标轴上点的坐标特征和一次函数图象上点的坐标特征先得到C(0,-1),B($\frac{1}{k}$,0),则利用3BO-$\frac{1}{2}$CO=1得到$\frac{3}{k}$-$\frac{1}{2}$=1,解方程得到k的值,从而得到B点坐标;
(2)A点坐标表示为(x,$\frac{1}{2}$x-1),然后利用三角形面积公式求解;
(3)设A(x,$\frac{1}{2}$x-1),利用三角形面积公式得到$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$x-1|=$\frac{1}{4}$,然后解绝对值方程得到x的值,从而得到A点坐标.

解答 解:(1)当x=0时,y=kx-1=-1,则C(0,-1),
当y=0时,kx-1=0,解得x=$\frac{1}{k}$,则B($\frac{1}{k}$,0),
∵3BO-$\frac{1}{2}$CO=1
∴$\frac{3}{k}$-$\frac{1}{2}$=1,
∴k=2,
∴B($\frac{1}{2}$,0);
(2)y=$\frac{1}{2}$x-1,
S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•($\frac{1}{2}$x-1)
=$\frac{1}{8}$x-$\frac{1}{4}$(x>$\frac{1}{2}$);
(3)设A(x,$\frac{1}{2}$x-1),
∵S=$\frac{1}{2}$•$\frac{1}{2}$•|$\frac{1}{2}$x-1|,
∴$\frac{1}{4}$|$\frac{1}{2}$x-1|=$\frac{1}{4}$,解得x=4或x=0,
∴A点坐标为(4,1)或(0,1),
即A点运动到(4,1)或(0,1)位置时,△AOB的面积是$\frac{1}{4}$.

点评 本题考查了一次函数的综合题:熟练掌握一次函数图象上点的坐标特征;会求一次函数与坐标轴的交点坐标;理解坐标与图形的性质,记住三角形的面积公式.

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5.小于$\sqrt{17}$的所有正整数和是10.

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6.如图,梯形ABCD对角线交于O点,S△AOD=1,S△BOC=4,则S△AOB+S△DOC=(  )
A.2B.3C.4D.5

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3.如图1,Rt△ACB 中,∠C=90°,点D在AC上,∠CBD=∠A,过A、D两点的圆的圆心O在AB上.
(1)利用直尺和圆规在图1中画出⊙O(不写作法,保留作图痕迹,并用黑色水笔把线条描清楚);
(2)判断BD所在直线与(1)中所作的⊙O的位置关系,并证明你的结论;
(3)设⊙O交AB于点E,连接DE,过点E作EF⊥BC,F为垂足,若点D是线段AC的黄金分割点(即$\frac{DC}{AD}$=$\frac{AD}{AC}$),如图2,试说明四边形DEFC是正方形).

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10.下列说法正确的有(  )
①-2是-4的一个平方根;
②a2的平方根是a;
③2是4的平方根;
④4的平方根是-2.
A.1个B.2个C.3个D.4个

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20.如图,△ABC的顶点A在原点,B、C坐标分别为B(3,0)、C(2,2),将△ABC向左平移2个单位后再向下平移1单位,可得到△A′B′C′.
(1)请画出平移后的△A′B′C′的图形;
(2)写出△A′B′C′各个顶点的坐标;
(3)在平面直角坐标系中取一点D(2,-3),连接BD、CD,求△BCD的面积.

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7.如图,点O为?ABCD的对角线AC,BD的交点,∠BCO=90°,∠BOC=60°,BD=8,点E是OD上的一动点,点F是OB上的一动点(E,F不与端点重合),且DE=OF,连接AE,CF.
(1)求线段EF的长;
(2)若△OAE的面积为S1,△OCF的面积为S2,S1+S2的值是否发生变化?若不变,求出这个不变的值;若变化,请说明随着DE的增大,S1+S2的值是如何发生变化的?
(3)求AE+CF的最小值.

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4.(1)如图,已知△ABC,以AB、AC为边向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE,连接BE,CD,问:BE与CD有什么数量关系?请说明理由;
(2)如图2,已知△ABC,以AB、AC为边向外作正方向ABFD和正方形ACGE,连接BE,CD,则BE和CD之间的数量关系是BE=CD;
(3)运用(1)、(2)解答中所积累的经验和知识,完成下题:
如图3,四边形ADBC中,∠ACB=45°,AC=40$\sqrt{2}$,BC=60,AB、CD是对角线,AB⊥AD,AB=AD,求CD的长;
(4)探究:①在图1中,当∠ACB=30°时,请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系;
②在图2中,当∠ACB=45°时,请直接写出DC、BC、AC之间的数量关系.

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5.如图,正方形ABCD的边长为2,AD边在x轴负半轴上,反比例函数y=$\frac{k}{x}$(x<0)的图象经过点B和CD边中点E,则k的值为-4.

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