Question

函数y=x+

1

x

的图象如图所示，对该函数的性质的论断：
①该函数的图象是中心对称图形；
②当x＞0时，该函数在x=1时取得最小值；
③当x＞1时，y随x的增大而减小；
④y的值不可能为-1，其中一定正确的有

①②④

．（填写编号）

Answer 1

分析：根据关于原点对称的两点（a，a+

1

a

）、（-a，-a-

1

a

）都在函数y=x+

1

x

的图象上，由此可对①进行判断；当x＞0，利用不等式x+

1

x

≥2•x•

1

x

=2，而点（1，2）在函数图象上，于是可对②进行判断；观察图象得到当x＞1时，y随x的增大而增大，由此可对③进行判断；利用中心对称的性质得到x＜0时，最大值为-2，由此得到y的最大值为-2，于是可对④进行判断．

解答：解：当x=a，y=a+

1

a

，即点（a，a+

1

a

）函数y=x+

1

x

的图象上；当x=-a，y=-a-

1

a

，即点（-a，-a-

1

a

）函数y=x+

1

x

的图象上，而点（a，a+

1

a

）与点（-a，-a-

1

a

）关于原点中心对称，则该函数的图象是中心对称图形，所以①正确；
当x＞0，x+

1

x

≥2•x•

1

x

=2，即x＞0时，该函数的有最小值为1，由图象得x=1时，y=2，所以②正确；
当x＞1时，y随x的增大而增大，所以③错误；
由于该函数的图象是关于原点中心对称，则x＜0时，最大值为-2，所以④正确．
故答案为①②④．

点评：本考查了反比例函数的综合题：点在反比例函数图象上，点的坐标满足其解析式；掌握关于原点中心对称的图象的性质；了解不等式a+b≥2

ab

（a、b为正数）．