Question

20．如图1，在△ABC中，CA=CB=4，∠C=90°，点D是BC的中点，将△ABC沿着直线EF折叠，使点A与点D重合，折痕交AB于点E，交AC于点F，那么BE的值为$\frac{7\sqrt{2}}{3}$．

Answer 1

分析 作DG⊥BE，先根据翻折变换的性质得到△DEF≌△AEF，再根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得到∠BED=CDF，设CF=x，则DF=FA=4-x，根据勾股定理求出CF，可知tan∠BED=tanCDF，在Rt△BDG和Rt△EDG分别求出BG、EG即可．

解答 解：作DG⊥BE，
∵△DEF是△AEF翻折而成，
∴△DEF≌△AEF，∠A=∠EDF，
∵△ABC是等腰直角三角形，
∴∠EDF=45°，由三角形外角性质得∠CDF+45°=∠BED+45°，
∴∠BED=∠CDF，
∵CA=CB=4，CD=BD=2，
设CF=x，
∴DF=FA=4-x，
∴在Rt△CDF中，由勾股定理得，CF²+CD²=DF²，即x²+4=（4-x）²，
解得x=$\frac{3}{2}$，
∵∠B=45°，BD=2，
∴BG=DG=$\sqrt{2}$，
∵tan∠BED=tanCDF=$\frac{CF}{CD}$=$\frac{\frac{3}{2}}{2}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{DG}{EG}$=$\frac{3}{4}$，
∴$\frac{\sqrt{2}}{EG}=\frac{3}{4}$，
∴EG=$\frac{4\sqrt{2}}{3}$，
∴BE=BG+EG=$\frac{7\sqrt{2}}{3}$．
故答案为：$\frac{7\sqrt{2}}{3}$．

点评 本题考查的是图形翻折变换的性质、等腰直角三角形的性质、勾股定理、三角形外角的性质以及锐角三角函数的综合运用，涉及面较广，但难易适中．