Question

你觉得手机很神奇？它能在瞬间清晰地传递声音、文字、图象等信息，据说以后还能发送味道、触觉信息呢！这里都有手机中电脑芯片的功劳．其实，这些信号在电脑芯片中都是以二进制的形式给出的．每个二进制数都由0和1构成，电脑芯片上电子元件的“开”、“关”分别代表“1”和“0”．一组电子元件的“开”“关”状态就表示相应的二进制数．例如“开”“开”“关”表示“110”．
如图，电脑芯片的某段电路上分布着一组电子元件（假设它们首尾不相连），且相邻的两个元件不能同时是关的．（以下各小题要求写出解答过程）

（1）若此电路上有4个元件，则这4个元件所有不同的“开”“关”状态共有多少种？（请一一列出）；
（2）若用a_k表示电路上k（k≥1）只电子元件所有不同的“开”“关”状态数，试探索a_k，a_k+1，a_k+2之间的关系（不要求论证）；
（3）试用（2）中探索出的递推关系式，计算a₁₀的值．

Answer 1

分析：（1）电路中一个电路元件2种状态，电路上有4个元件，则这四个元件有16种状态，又知相邻的两个元件不能同时是关的，于是可以推断出4个元件所有不同的“开”“关”状态共有8种，并写出8种状态，
（2）当电路有两个元件时，有不同状态3种，当电路有三个元件时，有不同状态5种，当电路有四个元件时，有不同状态8种，当电路有五个元件时，有不同状态16种，于是推出ak+2=a_k+a_k+1，
（3）根据递推关系式分别求出a₆，a₇，a₈，a₉的值，进而求出a₁₀的值．

解答：解：（1）电路中一个电路元件2种状态，电路上有4个元件，则这四个元件有16种状态，又知相邻的两个元件不能同时是关的，
故可知4个元件所有不同的“开”“关”状态共有8种，
这8种状态分别为1111；1110；1101；1011；1010；0111；0110；0101；

（2）当电路有两个元件时，有不同状态3种，
当电路有三个元件时，有不同状态5种，
当电路有四个元件时，有不同状态8种，
当电路有五个元件时，有不同状态16种，
于是推理可知ak+2=a_k+a_k+1，

（3）根据递推关系式可知
a₆=a₅+a₄=24，a₇=a₆+a₅=40，a₈=a₇+a₆=64，
a₉=a₈+a₇=104，a₁₀=a₉+a₈=168．

点评：本题主要考查推理与论证的知识点，解答本题的关键是根据电路中不同数量的元件能组成的状态种数，然后运用推理论证的知识证出一般递推式，此题有一定的难度．