Question

4．已知?ABCD的周长为40cm，AE⊥BC于点E，AF⊥CD于点F，若AE=4cm，AF=6cm，则CE+CF=$20+10\sqrt{3}$或$4+2\sqrt{3}$cm．

Answer 1

分析 本题考虑两种情形：①如图1中，当∠BAD是钝角时，设AB=a，BC=b，列方程组求出a、b，再利用勾股定理求出BE、DF，即可解决问题．②如图2中，当∠BAD是锐角时，求出CE、CF即可．

解答 解：①如图1中，当∠BAD是钝角时，设AB=a，BC=b，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD=a，$\frac{1}{2}$•BC•AE=$\frac{1}{2}$•CD•AF，∴3a=2b     ①
∵a+b=20    ②
由①②解得a=8，b=12，
在RT△ABE中，∵∠AEB=90°，AB=8，AE=4，
∴BE=$\sqrt{A{B}^{2}-A{E}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}-{4}^{2}}$=4$\sqrt{3}$，
∴EC=12-4$\sqrt{3}$，
在RT△ADF中，∵∠AFD=90°．AD=12，AF=6．
∴DF=$\sqrt{A{D}^{2}-A{F}^{2}}$=6$\sqrt{3}$，
∵6$\sqrt{3}$＞8，
∴CF=DF-CD=6$\sqrt{3}$-8，
∴CE+CF=EC+CF=4+2$\sqrt{3}$．
②如图2中，当∠BAD是锐角时，由①可知：DF=6$\sqrt{3}$，BE=4$\sqrt{3}$，
∴CF=8+6$\sqrt{3}$，CE=12+4$\sqrt{3}$，
∴CE+CF=20+10$\sqrt{3}$．
故答案为$20+10\sqrt{3}$或$4+2\sqrt{3}$

点评 本题考查平行四边形的性质、勾股定理等知识，解题的关键是正确画出图形，注意本题有两个解，通过计算确定高的位置，属于中考常考题型．