Question

18．在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点A，且BD⊥MN于点D．
（1）如图1，求证：BD+AD=$\sqrt{2}$CD．
（2）探究：当MN绕点A旋转到如图2、3所示的位置时，线段BD、AD、CD之间满足怎样的数量关系？试写出你的猜想，并选择其中一种情况进行证明．

Answer 1

分析 （1）如图，过点C作CE⊥CD交MN于E，先证△ACE≌△DCB，得出△ECD是等腰直角三角形，进而得出DE=$\sqrt{2}$CD，又因为DE=AE+AD，即可求得；
（2）如图2，过点C作CE⊥CD交MN于E，先证△ACE≌△DCB，得出△ECD是等腰直角三角形，进而得出DE=$\sqrt{2}$CB，又因为DE=AD-AE=AD-BD，即可求得；
如图3，方法同上．

解答 解：（1）如图（1），过点C作CE⊥CD交MN于E，
∵∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠ACE=90°，
∴∠BCD=∠ACE，
∵四边形ACBD的内角和为360°，
∴∠BCD+∠CAD=180°
∵∠EAC+∠CAD=180°，
∴∠EAC=∠DBC，
在△ACE与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{AC=BC}\\{∠EAC=∠DBC}\\{∠DCB=∠ACE}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△BCD（AAS）
∴AE=BD，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵DE=AE+AD，
∴DE=BD+AD，
∴BD+AD=$\sqrt{2}$CD；

（2）如图2猜想：AD-DB=$\sqrt{2}$CD，
证明：过C点作CE⊥CD交MN于E，
∵∠ACB=90°，∠ACE=90°-∠BCE，∠DCB=90°-∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠B=90°-∠BFD，
∴∠CAE=∠B，
又∵AC=BC，
在△ACE与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠ACE}\\{∠CAE=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵DE=AD-AE，
∴DE=AD-BD，
∴AD-BD=$\sqrt{2}$CD；
如图3，BD-AD=$\sqrt{2}$CD，
过C点作CE⊥CD交MN于E，
∵∠ACB=90°，∠ACE=90°-∠BCE，∠DCB=90°-∠ECB，
∴∠DCB=∠ACE，
∵DB⊥MN，
∴∠CAE=90°-∠AFC，∠B=90°-∠BFD，
∴∠CAE=∠B，
又∵AC=BC，
在△ACE与△BCD中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠DCB=∠ACE}\\{∠CAE=∠B}\\{AC=BC}\end{array}\right.$，
∴△ACE≌△DCB（ASA）
∴AE=DB，CE=CD，
∴△ECD是等腰直角三角形，
∴DE=$\sqrt{2}$CD，
又∵AE=AD+DE，
∴DE=AE-BD，
∴BD-AD=$\sqrt{2}$CD．

点评 本题考查了旋转的性质，三角形全等的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，四边形的内角和等．