Question

27、已知：AB∥CD
（1）若图（1），点M在直线AC的右侧，试判断∠A、∠C和∠M的关系，并说明理由；
（2）若图（2），点M₁和点M₂在直线AC的右侧，试判断∠A、∠C、∠M₁、∠M₂的关系，并说明理由；
（3）若图（3），点M₁、M₂、M₃…M_n在直线AC的右侧，试判断∠A、∠C、∠M₁、∠M₂…∠M_n的关系（直接与出结果，不需要说明理由）．

Answer 1

分析：（1）过点M作MN∥AB，由AB∥CD，可得MN∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可求得∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，继而求得∠A、∠C和∠M的关系；
（2）分别过点M₁和点M₂作M₁N₁∥AB，M₂N₂∥AB，可得M₁N₁∥M₂N₂∥AB∥CD，根据两直线平行，同旁内角互补，即可得∠1+∠A=180°，∠2+∠3=180°，∠4+∠C=180°，则可求得∠A、∠C、∠M₁、∠M₂的关系；
（3）由（1）与（2）即可得到规律：∠A+∠C+∠M₁+∠M₂+…+∠M_n=180°（n+1）．

解答：解：（1）过点M作MN∥AB，
∵AB∥CD，
∴MN∥AB∥CD，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠C=180°，
∵∠AMC=∠1+∠2，
∴∠A+∠B+∠AMC=360°；

（2）分别过点M₁和点M₂作M₁N₁∥AB，M₂N₂∥AB，
∵AB∥CD，
∴M₁N₁∥M₂N₂∥AB∥CD，
∴∠1+∠A=180°，∠2+∠3=180°，∠4+∠C=180°，
∵∠BM₁M₂=∠1+∠2，∠M₁M₂D=∠3+∠4，
∴∠A+∠BM₁M₂+∠M₁M₂D+∠C=540°；

（3）由（1）（2）可得规律：∠A+∠C+∠M₁+∠M₂+…+∠M_n=180°（n+1）．

点评：此题考查了平行线的性质，考查了学生的观察归纳能力．此题难度较大，解题的关键是注意掌握两直线平行，同旁内角互补定理的应用，注意数形结合思想的应用，注意辅助线的作法．