Question

如图，已知点A（-1，0），B（4，0），点C在y轴的正半轴上，且∠ACB=90°，抛物线y=ax²+bx+c经过A、B、C三点，其顶点为M．
（1）求抛物线y=ax²+bx+c的解析式；
（2）试判断直线CM与以AB为直径的圆的位置关系，并加以证明；
（3）在抛物线上是否存在点N，使得S_△BCN=4？如果存在，那么这样的点有几个？如果不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，AO=1，BO=4；
由射影定理，得：OC²=OA•OB=4，则OC=2，即点C（0，2）；
设抛物线的解析式为：y=a（x+1）（x-4），将C点代入上式，得：
2=a（0+1）（0-4），a=-，
∴抛物线的解析式：y=-（x+1）（x-4）=-x²+x+2；

（2）直线CM与以AB为直径的圆相切．理由如下：
如右图，设抛物线的对称轴与x轴的交点为D，连接CD．
由于A、B关于抛物线的对称轴对称，则点D为Rt△ABC斜边AB的中点，CD=AB．
由（1）知：y=-（x+1）（x-4）=-（x-）²+，
则点M（，），ME=-2=；
而CE=OD=，OC=2；
∴ME：CE=OD：OC，又∠MEC=∠COD=90°，
∴△COD∽△CEM，
∴∠CME=∠CDO，
∴∠CME+∠CDM=∠CDO+∠CDM=90°，
而CD等于⊙D的半径长，所以直线CM与以AB为直径的圆相切；

（3）由B（4，0）、C（0，2）得：BC=2；
则：S_△BCN=BC•h=×2×h=4，h=；
过点B作BF⊥BC，且使BF=h=，过F作直线l∥BC交x轴于G．
Rt△BFG中，sin∠BGF=sin∠CBO=，BG=BF÷sin∠BGF=÷=4；
∴G（0，0）或（8，0）．
易知直线BC：y=-x+2，则可设直线l：y=-x+b，代入G点坐标，得：b=0或b=4，则：
直线l：y=-x或y=-x+4；
联立抛物线的解析式后，可得：
或，
则 N₁（2+2，-1-）、N₂（2-2，-1+）、N₃（2，3）．
分析：（1）Rt△ACB中，OC⊥AB，利用射影定理能求出OC的长，即可确定C点坐标，再利用待定系数法能求出该抛物线的解析式．
（2）此题的解法有两种：①过AB的中点作直线CM的垂线，比较该垂线段与AB的一半（半径）的大小关系，若两者相等，则直线CM与AB为直径的圆相切；若该垂线段小于半径长，则两者的位置关系为相交；若该垂线段大于半径长，则两者的位置关系为相离；
②连接AB中点（设为点D）和点C，根据直角三角形的性质知：CD为⊙D的半径长，那么只需判断CD是否与CM垂直即可，若垂直，则直线CM与⊙D相切；若不垂直，则相交．
（3）先求出线段BC的长，根据△BCN的面积，可求出BC边上的高，那么做直线l，且直线l与直线BC的长度正好等于BC边上的高，那么直线l与抛物线的交点即为符合条件的N点．
点评：该题考查了二次函数解析式的确定、函数图象交点坐标的求法、图形面积的求法以及直线与圆的位置关系等重点知识，（3）题中，直线l可能在B点左侧也可能在其右侧，一定要将所有情况都考虑到．