Question

已知点P的坐标为（m，0），在x轴上存在点Q（不与P点重合），以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在反比例函数y=-的图象上．小明对上述问题进行了探究，发现不论m取何值，符合上述条件的正方形一定有两个，如图所示，并且一个正方形的顶点M在第四象限，另一个正方形的顶点M₁在第二象限．
（1）若P点坐标为（1，0），请你写出：M的坐标是______；
（2）若点P的坐标为（m，0），求直线M₁M的函数关系式．

Answer 1

解：（1）设正方形PQMN的边长为s，
∵P点坐标为（1，0），
∴点M的坐标为：（1+s，-s），
∵点M落在反比例函数y=-的图象上，
∴-s=-，
解得：s=1或s=-2（舍去），
∴M的坐标是（2，-1）．
故答案为：（2，-1）；

（2）设正方形PQMN边长为s，正方形PQ₁M₁N₁边长为n，
∵P点坐标为（m，0），
∴M（m+s，-s），M₁（m-n，n）
设M₁M表达式为y=kx+b，则有：
，
解得：，
∴M₁M表达式为：y=-x+m．
分析：（1）设正方形PQMN的边长为s，由P点坐标为（1，0），可得点M的坐标为：（1+s，-s），又由点M落在反比例函数y=-的图象上，即可求得点M的值；
（2）首先设正方形PQMN边长为s，正方形PQ₁M₁N₁边长为n，由P点坐标为（m，0），即可得M（m+s，-s），M₁（m-n，n），然后利用待定系数法，即可求得直线M₁M的函数关系式．
点评：本题是动点所形成的几何图形在直角坐标系中与反比例函数的应用，是一道函数与几何的综合题，由几何图形中的数量关系建立函数和推理探究等多个知识点，实际上是数形结合思想的运用，融代数与几何为一体，把代数问题与几何问题进行相互转化．