Question

（本题14分）如图，等腰梯形ABCD中，AB=4，CD=9，∠C=60°，动点P从点C出发沿CD方向向点D运动，动点Q同时以相同速度从点D出发沿DA方向向终点A运动，其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动.
（1）求AD的长；
（2）设CP=x， △PDQ的面积为y,求y关于x的函数表达式，并求自变量的取值范围；
（3）探究：在BC边上是否存在点M使得四边形PDQM是菱形？若存在，请找出点M，并求出BM的长；不存在，请说明理由.

Answer 1

（1）∵A、D关于点Q成中心对称，HQ⊥AB，
∴=90°，HD=HA，
∴，…………………………………………………………………………2分
∴△DHQ∽△ABC．……………………………………………………………………1分
（2）①如图1，当时，
ED=，QH=，
此时． …………………………………………2分
②如图2，当时，
ED=，QH=，
此时． …………………………………………2分
∴y与x之间的函数解析式为（自变量取值写对给1分）
（3）①如图1，当时，
若DE=DH，∵DH=AH=， DE=，
∴=，．……………………………………………………1分
显然ED=EH，HD=HE不可能； ……………………………………………………1分
②如图2，当时，
若DE=DH，=，；  …………………………………………1分
若HD=HE，此时点D，E分别与点B，A重合，； ………………………1分
若ED=EH，则△EDH∽△HDA，
∴，，．  ……………………………………2分
∴当x的值为时，△HDE是等腰三角形.
（其他解法相应给分）

解析