Question

18．如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，BC=10，点E在CD上，将△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处；点G在AF上，将△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，有下列结论：
①∠EBG=45°；②△DEF∽△ABG；③S_△ABG=$\frac{3}{2}$S_△FGH；④AG+DF=FG．
其中正确的是①③④．（把所有正确结论的序号都选上）

Answer 1

分析 由折叠性质得∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，则在Rt△ABF中利用勾股定理可计算出AF=8，所以DF=AD-AF=2，设EF=x，则CE=x，DE=CD-CE=6-x，在Rt△DEF中利用勾股定理得（6-x）²+2²=x²，解得x=$\frac{10}{3}$，即ED=$\frac{8}{3}$；再利用折叠性质得∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，易得∠2+∠3=45°，于是可对①进行判断；设AG=y，则GH=y，GF=8-y，在Rt△HGF中利用勾股定理得到y²+4²=（8-y）²，解得y=3，则AG=GH=3，GF=5，由于∠A=∠D和$\frac{AB}{DE}$≠$\frac{AG}{DF}$，可判断△ABG与△DEF不相似，则可对②进行判断；根据三角形面积公式可对③进行判断；利用AG=3，GF=5，DF=2可对④进行判断．

解答 解：∵△BCE沿BE折叠，点C恰落在边AD上的点F处，
∴∠1=∠2，CE=FE，BF=BC=10，
在Rt△ABF中，∵AB=6，BF=10，
∴AF=$\sqrt{1{0}^{2}-{6}^{2}}$=8，
∴DF=AD-AF=10-8=2，
设EF=x，则CE=x，DE=CD-CE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DE²+DF²=EF²，
∴（6-x）²+2²=x²，解得x=$\frac{10}{3}$，
∴ED=$\frac{8}{3}$，
∵△ABG沿BG折叠，点A恰落在线段BF上的点H处，
∴∠3=∠4，BH=BA=6，AG=HG，
∴∠2+∠3=$\frac{1}{2}$∠ABC=45°，所以①正确；
HF=BF-BH=10-6=4，
设AG=y，则GH=y，GF=8-y，
在Rt△HGF中，∵GH²+HF²=GF²，
∴y²+4²=（8-y）²，解得y=3，
∴AG=GH=3，GF=5，
∵∠A=∠D，$\frac{AB}{DE}$=$\frac{6}{\frac{8}{3}}$=$\frac{9}{4}$，$\frac{AG}{DF}$=$\frac{3}{2}$，
∴$\frac{AB}{DE}$≠$\frac{AG}{DF}$，
∴△ABG与△DEF不相似，所以②错误；
∵S_△ABG=$\frac{1}{2}$•6•3=9，S△_FGH=$\frac{1}{2}$•GH•HF=$\frac{1}{2}$×3×4=6，
∴S_△ABG=$\frac{3}{2}$S_△FGH，所以③正确；
∵AG+DF=3+2=5，而GF=5，
∴AG+DF=GF，所以④正确．
故答案为①③④．

点评 本题考查了相似形综合题：熟练掌握折叠和矩形的性质、相似三角形的判定方法；会运用勾股定理计算线段的长．