Question

12．如图，AB是⊙O的直径，弦CD（不是直径）交AB于点E，且CE=DE，过点B作BF∥CD交AC的延长线于点F，连接OF，
（1）求证：BF是⊙O的切线；
（2）若CP=1，BD=2，求OF的长和图中阴影部分的面积．

Answer 1

分析 （1）欲证明BF是⊙O的切线，只要证明AB⊥BF即可；
（2）根据S_阴=S_△OBF-S_扇形，求出BF，∠FOB即可解决问题；

解答 （1）证明：∵AB是直径，CE=ED，
∴AB⊥CD，即∠AEC=90°，
∵BF∥CD，
∴∠ABF=∠AEC=90°，即BF∥OB，
∵AB是直径，
∴BF是⊙O的切线．

（2）解：连接CB，
∵AB⊥CD，
∴$\widehat{BC}$=$\widehat{BD}$，
∴BC=BD=2，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠BCF=∠ACB=90°，
∴BF=$\sqrt{B{C}^{2}+C{F}^{2}}$=$\sqrt{{2}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
∵∠ABF=∠BCF=90°，∠AFB=∠BFC，
∴△ABF∽△BCF，
∴$\frac{BC}{AB}$=$\frac{CF}{BF}$，
∴AB=2$\sqrt{5}$，
∴OB=$\frac{1}{2}$AB=$\sqrt{5}$，
在Rt△OBF中，OF=$\sqrt{B{F}^{2}+O{B}^{2}}$=$\sqrt{10}$，
∵OB=BF，∠OBF=90°，
∴∠FOB=45°，
∴S_阴=S_△OBF-S_扇形=$\frac{1}{2}$×（$\sqrt{5}$）²-$\frac{45π•（\sqrt{5}）^{2}}{360}$=$\frac{5}{2}$-$\frac{5}{8}$π．

点评 本题考查切线的判定和性质、垂径定理、扇形的面积、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，正确寻找相似三角形解决问题．