【题目】已知两条线段AC和BC,连接AB,分别以AB、BC为底边向上画等腰△ABD和等腰△BCE,∠ADB=∠BEC=α.
(1)如图1,当α=60°时,求证:△DBE≌△ABC;
(2)如图2,当α=90°时,且BC=5,AC=2.
①求DE的长;
②如图3,将线段CA绕点C旋转,点D也随之运动,请求出C,D两点之间距离的取值范围.
【答案】(1)证明见解析;(2)①;②.
【解析】
(1)只要证明△DBA,△EBC都是等边三角形即可解决问题;
(2)①只要证明△DBE∽△ABC,推出,即可解决问题;
②在△DEC中,根据三边关系即可解决问题.
(1)如图1.
∵DB=DA,EB=EC,∠BDA=∠BEC=60°,∴△ABD,△EBC都是等边三角形,∴BD=BA,BE=BC,∠DBA=∠EBC=60°,∴∠DBE=∠ABC,∴△DBE≌△ABC.
(2)①∵△ABD,△BEC都是等腰直角三角形,∴,∠DBA=∠EBC=45°,∴∠DBE=∠ABC,∴△DBE∽△ABC,∴.
∵AC=2,∴DE.
②如图3中,连接CD.
由(2)可知DE.在Rt△BCE中,ECBC.
∵EC﹣DE≤DC≤EC+DE,∴DE.
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【题目】如图,△ABC中,A1,A2,A3,…,An为AC边上不同的n个点,首先连接BA1,图中出现了3个不同的三角形,再连接BA2,图中便有6个不同的三角形,……
(1)完成下表:
连接个数 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 |
出现三角形个数 | 3 | 6 |
(2)若出现了45个三角形,则共连接了_____个点?若一直连接到An,则图中共有______个三角形.
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【题目】如图,一次函数 y=-x+6的图像与正比例函数 y=2x 的图像交于点 A.
(1)求点 A 的坐标;
(2)已知点 B 在直线 y=-x+6上,且横坐标为5,在 x 轴上确定点 P,使 PA+PB 的值最小,求出此时 P 点坐标,并直接写出 PA+PB 的最小值.
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【题目】如图所示,甲、乙两船同时由港口A出发开往海岛B,甲船沿某一方向直航140海里的海岛B,其速度为14海里/小时;乙船速度为20海里/小时,先沿正东方向航行3小时后,到达C港口接旅客,停留1小时后再转向北偏东30°方向开往B岛,其速度仍为20海里/小时.
(1)求海岛B到航线AC的距离;
(2)甲船在航行至P处,发现乙船在其正东方向的Q处,问此时两船相距多少?
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【题目】已知关于x的一元二次方程(x﹣3)(x﹣2)=|m|.
(1)求证:对于任意实数m,方程总有两个不相等的实数根;
(2)若方程的一个根是1,求m的值及方程的另一个根.
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【题目】如图,已知在△ABC中,∠ACB=90°,BC=2,AC=4,点D在射线BC上,以点D为圆心,BD为半径画弧交边AB于点E,过点E作EF⊥AB交边AC于点F,射线ED交射线AC于点G.
(1)求证:△EFG∽△AEG;
(2)设FG=x,△EFG的面积为y,求y关于x的函数解析式并写出定义域;
(3)联结DF,当△EFD是等腰三角形时,请直接写出FG的长度.
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【题目】如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AC=BC=4.
(1)尺规作图:将△ABC绕AC的中点O为旋转180°,点B的对应点为B′(保留作图痕迹,不写做法);
(2)求点B与点B′之间的距离.
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【题目】如图,在△ABC中,BA=BC=20cm,AC=30cm,点P从A点出发,沿着AB以每秒4cm的速度向B点运动;同时点Q从C点出发,沿着CA以每秒3cm的速度向A点运动,设运动时间为x秒.
(1)x为何值时,PQ∥BC;
(2)是否存在某一时刻,使△APQ∽△CQB?若存在,求出此时AP的长;若不存在,请说明理由;
(3)当=时,求的值.
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