Question

如图，在某圆锥形灯罩的轴截面中，OA=OB，∠AOB=60°，已知一平顶房间高度为3米，若此灯罩的光源O发出的光线到达该房间水平地面的最大圆面面积为2.25π平方米（假设该水平地面足够大），则点O到此房间顶端的距离约为（ ）

A．0.3米
B．0.35米
C．0.4米
D．0.45米

Answer 1

【答案】分析：首先判定△OAB是等边三角形，然后延长OA交地面于点A′，延长OB交地面于点B′，从而得到△OA′B′和△OAB相似，根据光线到达地面圆的面积求出半径从而得到A′B′的长度，再根据等边三角形的性质求出点O到A′B′的距离，即可得解．
解答：解：如图，∵OA=OB，∠AOB=60°，
∴△OAB是等边三角形，
延长OA交地面于点A′，延长OB交地面于点B′，可得△OA′B′∽△OAB，
设光线到达该房间水平地面的最大圆的半径为r米，
则πr²=2.25π，
解得r=1.5，
∴A′B′=2r=2×1.5=3米，
根据等边三角形的性质，点O到A′B′的距离为3×=2.598米，
∴点O到此房间顶端的距离约为3-2.598=0.402≈0.4米．
故选C．
点评：本题考查了相似三角形的应用，等边三角形的判定与性质，以及圆的面积公式，难度不大，判定出等边三角形是解题的关键．