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如图,在四边形ABCD中,AB=BC,对角线BD平分ÐABC,P是BD上一点,过点P作PM^AD,PN^CD,垂足分别为M、N.

(1)求证:ÐADB=ÐCDB;

(2)若ÐADC=90°,求证:四边形MPND是正方形.

 

【答案】

(1)证明见解析;(2)证明见解析.

【解析】

试题分析:(1)根据角平分线的性质和全等三角形的判定方法证明△ABD≌△CBD,由全等三角形的性质即可得到:∠ADB=∠CDB;(2)若∠ADC=90°,由(1)中的条件可得四边形MPND是矩形,再根据两边相等的四边形是正方形即可证明四边形MPND是正方形.

试题解析:(1)∵BD平分ÐABC,∴ÐABD=ÐCBD.

又∵BA=BC,BD=BD,∴△ABD ≌△CBD(SAS).∴ÐADB=ÐCDB.

(2)∵PM^AD,PN^CD,∴ÐPMD=ÐPND=90°.

又∵ÐADC=90°,∴四边形MPND是矩形.

∵ÐADB=ÐCDB,PM^AD,PN^CD,∴PM=PN. ∴四边形MPND是正方形.

考点:1.全等三角形的判定和性质;2.正方形的判定.

 

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