Question

甲、乙、丙三个容器中盛有含盐比例不同的盐水．若从甲、乙、丙中各取出重量相等的盐水，将它们混合后就成为含盐10%的盐水；若从甲和乙中按重量之比为2：3来取，混合后就成为含盐7%的盐水；若从乙和丙中按重量之比为3：2来取，混合后就成为含盐9%的盐水．求甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数．

Answer 1

分析：题设中有三种混合方式，但每种混合方式从各个容器中取出的盐水的重量都是未知的，我们可以引进辅助未知数，将这些量分别用字母表示，可根据纯盐的质量来得到相应等量关系：甲的浓度×质量a+乙的浓度×质量a+丙的浓度×质量a=3a×10%；甲的浓度×质量2m+乙的浓度×质量3m=5m×7%；乙的浓度×质量3n+丙的浓度×质量2n=5n×9%，把无关未知量消去，解三元一次方程组即可．

解答：解：设甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为x%、y%、z%第一次混合从甲、乙、丙三个容器中各取出a克盐水，则有a×x%+a×y%+a×z%=3a×10%
从甲和乙中按重量之比为2：3来取盐水时，设从甲中取盐水2m克，从乙中取盐水3m克，则有2m×x%+3m×y%=（2m+3m）×7%
从乙和丙中按重量之比为3：2来取盐水时，设从乙中取盐水3n克，从丙中取盐水2n克，则有3n×y%+2n×z%=（3n+2n）×9%
将上面三式消去辅助未知数得：

x+y+z=30 2x+3y=35 3y+2z=45

解得

x=10 y=5 z=15

答：甲、乙、丙三个容器中盐水含盐的百分数分别为10%、5%、15%．

点评：考查三元一次方程组的应用；根据纯盐的质量得到3个等量关系是解决本题的关键；假设的未知数a、m、n不是题目所要求的，而是为了便于列方程而设的，这种设元方法叫作辅助未知数法，辅助未知数在求解过程中将被消去．