Question

18．如图，已知抛物线y=x²+bx+c与y轴交于点C，与x轴交于点A、B，且AB=2，抛物线的对称轴为直线x=2；
（1）求抛物线的函数表达式；
（2）如果抛物线的对称轴上存在一点P，使得△APC周长的最小，求此时P点坐标
及△APC周长；
（3）设D为抛物线上一点，E为对称轴上一点，若以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标．（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）由AB=2，抛物线的对称轴为x=2，得知抛物线与x轴交点为（1，0）、（3，0），即1、3为方程x²+bx+c=0的两个根，结合跟与系数的关系可求得b、c；
（2）由抛物线的对称性，可得出PA+PC最短时，P点为线段BC与对称轴的交点，由此可得出结论；
（3）平行四边形分两种情况，一种AB为对角线，由平行四边形对角线的性质可求出D点坐标；另一种，AB为一条边，根据对比相等，亦能求出D点的坐标．

解答 解：（1）∵AB=2，对称轴为直线x=2，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（3，0），
∵抛物线y=x²+bx+c与x轴交于点A，B，
∴1，3是方程x²+bx+c=0的两个根，
由根与系数的关系，得1+3=-b，1×3=c，
∴b=-4，c=3，
∴抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3．
（2）连接AC，BC，BC交对称轴于点P，连接PA，如图1，

由（1）知抛物线的函数表达式为y=x²-4x+3，点A，B的坐标分别为（1，0），（3，0），
∴点C的坐标为（0，3），
∴BC=$\sqrt{{3}^{2}+{3}^{2}}$=3$\sqrt{2}$，AC=$\sqrt{{3}^{2}+{1}^{2}}$=$\sqrt{10}$．
∵点A，B关于对称轴直线x=2对称，
∴PA=PB，
∴PA+PC=PB+PC，此时，PB+PC=BC，
∴当点P在对称轴上运动时，PA+PC的最小值等于BC，
∴△APC周长的最小值=AC+AP+PC=BC+AC=3$\sqrt{2}$+$\sqrt{10}$．
（3）以点A、B、D、E为顶点的四边形是平行四边形分两种情况，
①线段AB为对角线，如图2，

∵平行四边对角线互相平分，
∴DE在对称轴上，此时D点为抛物线的顶点，
将x=2代入y=x²-4x+3中，得y=-1，
即点D坐标为（2，-1）．
②线段AB为边，如图3，

∵四边形ABDE为平行四边形，
∴ED=AB=2，
设点E坐标为（2，m），则点D坐标为（4，m）或（0，m），
∵点D在抛物线上，
将x=0和x=4分别代入y=x²-4x+3中，解得m均为3，
故点D的坐标为（4，3）或（0，3）．
综合①②得点D的坐标可以为：（2，-1）、（0，3）、（4，3）．

点评 本题考查了二次函数的综合运用、平行四边形的性质以及抛物线的对称性，解题的关键：（1）利用已知分别找出A、B的坐标；（2）借助抛物线的对称性；（3）①利用平行四边形对角线互相平分；②利用平行四边形对比相等．