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9.某班数学课外活动小组的同学欲测量公园内一棵树DE的高度,他们在这棵树正前方一楼亭前的台阶上A点处测得树顶端D的仰角为30°,朝着这棵树的方向走到台阶下的点C处测得树顶端D的仰角为60°,已知A点的高度AB为2米,台阶AC的坡度i=1:2,且B,C,E三点在同一条直线上,请根据以上条件求出树DE的高度.(测倾器的高度忽略不计,结果保留根号)

分析 首先表示出AF的长,进而得出BC的长,再表示出CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+2),利用EB=BC+CE求出答案.

解答 解:过点A作AF⊥DE,设DF=x,
在Rt△ADF中,∵∠DAF=30°,tan∠DAF=$\frac{DF}{AF}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$,
∴AF=$\sqrt{3}$x,
AC的坡度i=1:2,
∴$\frac{AB}{CB}$=$\frac{1}{2}$,
∵AB=2,
∴BC=4,
∵AB⊥BC,DE⊥CE,AF⊥DE,
∴四边形ABEF为矩形,
∴EF=AB=2,BE=AF,
∴DE=DF+EF=x+2,
在Rt△DCE中,tan∠DCE=$\frac{DE}{CE}$,
∵∠DCE=60°,
∴CE=$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+2),
∵EB=BC+CE=4+$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+2),
∴$\frac{\sqrt{3}}{3}$(x+2)+4=$\sqrt{3}$x,
∴x=1+2$\sqrt{3}$,
∴DE=3+2$\sqrt{3}$.

点评 此题主要考查了解直角三角形的应用,以及矩形的判定和性质,三角函数,借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解决问题的关键.

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