Question

如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠D=90°，AD=CD=4，∠B=45°，点E为直线DC上一点，连接AE，作EF⊥AE交直线CD于点F．
（1）若点E为线段DC上一点（与点D、C不重合）．
①求证：∠DAE=∠CEF；
②求证：AE=EF；
（2）连接AF，若△AEF的面积为

17

2

，求线段CE的长（直接写出结果）．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,直角梯形

专题：

分析：（1）①根据同角的余角相等证明即可；
②连接AC，判断出△ACD是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠ACD=45°，过点E作EG⊥CD交AC于G，判断出△CEG是等腰直角三角形，再求出∠AGE=∠FCE=135°，CE=GE，再求出∠AEG=∠CEF，然后利用“角边角”证明△AEG和△FCE全等，根据全等三角形对应边相等证明即可；
（2）根据等腰直角三角形的面积求出AE²，再利用勾股定理列式求出DE，然后根据CE=CD-DE代入数据计算即可得解．

解答：（1）证明：①∵∠D=90°，
∴∠DAE+∠AED=90°，
∵EF⊥AE，
∴∠CEF+∠AED=90°，
∴∠DAE=∠CEF；
②如图，连接AC，
∵∠D=90°，AD=CD，
∴△ACD是等腰直角三角形，
∴∠ACD=45°，
过点E作EG⊥CD交AC于G，则△CEG是等腰直角三角形，
∴∠AGE=180°-45°=135°，CE=GE，
∵∠B=45°，DC∥AB，
∴∠FCE=180°-45°=135°，
∴∠AGE=∠FCE=135°，
∵∠D=90°，EG⊥CD，
∴AD∥EG，
∴∠AEG=∠DAE，
∴∠AEG=∠CEF，
在△AEG和△FCE中，

∠AEG=∠CEF CE=EG ∠AGE=∠FCE

，
∴△AEG≌△FCE（ASA），
∴AE=EF；

（2）解：连接AF，则△AEF是等腰直角三角形，
所以△AEF的面积=

1

2

AE²=

17

2

，
所以AE²=17，
在Rt△ADE中，DE=

AE2-AD2

=

17-42

=1，
所以CE=CD-DE=4-1=3．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，直角梯形的性质，等腰直角三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定方法并作辅助线构造出等腰直角三角形和全等三角形是解题的关键．