Question

如图，已知⊙O₁和⊙O₂相交于A，B两点，过点A作⊙O₁的切线交⊙O₂于点C，直线CB交⊙O₁于点D，直线DA交⊙O₂于点E．试证明：AC=EC．

Answer 1

【答案】分析：连接AB；根据圆内接四边形的性质得到∠ABD=∠E；由弦切角定理证得∠FAD=∠ABD=∠E，由于∠FAD=∠CAE，可证得∠CAE=∠E，从而得到AC=EC．
解答：证明：连接AB；
∵AC是⊙O₁的切线，切点为A，
∴∠FAD=∠ABD；
又∠FAD=∠CAE，
∴∠ABD=∠CAE；
而∠ABD是⊙O₂的内接四边形ABCE的一个外角，
∴∠ABD=∠E，
∴∠EAC=∠E；
∴AC=EC．
点评：连接公共弦是相交两圆中常见的一条辅助线；熟练运用圆内接四边形的性质和弦切角定理，进行角之间的转换是解答本题的关键．