Question

17．在△ABC中，点O是AC边上的一点，过点O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角的平分线于点F，连接AE、AF．
（1）求证：OE=OF；
（2）当点O在何处时，四边形AECF是矩形？（直接写出结果）
（3）在（2）的条件下，当△ABC是什么形状的三角形时，四边形AECF是正方形？（直接写出结果）

Answer 1

分析 （1）由平行线的性质和角平分线的性质，推出∠ECB=∠CEO，∠GCF=∠CFO，∠ECB=∠ECO，∠GCF=∠OCF，通过等量代换即可推出∠CEO=∠ECO，∠CFO=∠OCF，便可确定OC=OE，OC=OF，可得OE=OF；
（2）当O点运动到AC的中点时，四边形AECF为矩形，根据矩形的判定定理（对角线相等且互相平分的四边形为矩形），结合（1）所推出的结论，即可推出OA=OC=OE=OF，求出AC=EF后，即可确定四边形AECF为矩形；
（3）当△ABC是直角三角形时，四边形AECF是正方形，根据（2）所推出的结论，由AC⊥BC，MN∥BC，确定AC⊥EF，即可推出结论．

解答 证明：如图，

（1）∵MN∥BC，
∴∠OEC=∠BCE，∠OFC=∠GCF，
∵CE平分∠BCO，CF平分∠GCO，
∴∠OCE=∠BCE，∠OCF=∠GCF，
∴∠OCE=∠OEC，∠OCF=∠OFC，
∴EO=CO，FO=CO，
∴EO=FO．
（2）当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
（3）当点O运动到AC的中点时，且△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵由（2）知，当点O运动到AC的中点时，四边形AECF是矩形，
∵MN∥BC，当∠ACB=90°，
∴∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了平行线的性质，角平分线的性质，矩形性质和判定，正方形的性质和判定，三角形的性质，解本题的关键是证明OE=OF．