Question

13．如图，以Rt△ABC的斜边BC为一边在△ABC的同侧作正方形BCEF，设正方形的中心为O，连结AO，如果AB=2，AO=3$\sqrt{2}$，则tan∠AOB的值为（　　）

• A． $\frac{1}{2}$
• B． $\frac{1}{3}$
• C． $\frac{1}{4}$
• D． $\frac{1}{5}$

Answer 1

分析 在AC上截取CG=AB=2，连接OG，根据B、A、O、C四点共圆，推出∠ABO=∠ACO，证△BAO≌△CGO，推出OA=OG=3$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，得出等腰直角三角形AOG，根据勾股定理求出AC，即可求出tan∠AOB的值．

解答 解：在AC上截取CG=AB=2，连接OG，
∵四边形BCEF是正方形，∠BAC=90°，
∴OB=OC，∠BAC=∠BOC=90°，∠OBC=45°，
∴B、A、O、C四点共圆，
∴∠ABO=∠ACO，∠AOB=∠ACB，∠OAG=∠OBC=45°，
∵在△BAO和△CGO中，$\left\{\begin{array}{l}{BA=CG}&{\;}\\{∠ABO=∠ACO}&{\;}\\{OB=OC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△BAO≌△CGO（SAS），
∴OA=OG=3$\sqrt{2}$，∠AOB=∠COG，
∵∠BOC=∠COG+∠BOG=90°，
∴∠AOG=∠AOB+∠BOG=90°，
即△AOG是等腰直角三角形，
由勾股定理得：AG=$\sqrt{（3\sqrt{2}）^{2}+（3\sqrt{2}）^{2}}$=6，
即AC=6+2=8，
∴tan∠AOB=tan∠ACB=$\frac{AB}{AC}$=$\frac{2}{8}$=$\frac{1}{4}$；
故选：C．

点评 本题主要考查了勾股定理，正方形的性质，直角三角形的性质，全等三角形的性质和判定，四点共圆，圆周角定理，三角函数等知识；熟练掌握正方形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键．