Question

（2012•黄冈）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D，过点D作DE⊥BC，垂足为点E．
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）求证：BD²=AB•BE．

Answer 1

分析：（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，继而得出点D是AC中点，判断出OD是三角形ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论．
（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD²=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论．

解答：证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），
∵BA=BC，
∴CD=AD（三线合一），
又∵AO=OB，
∴OD是△ABC的中位线，
∴OD∥BC，
∵∠DEB=90°，
∴∠ODE=90°，即OD⊥DE，
故可得DE为⊙O的切线；

（2）∵∠EBD=∠DBC，∠DEB=∠CDB，
∴△BED∽△BDC，
∴

BD

BC

=

BE

BD

，
又∵AB=BC，
∴

BD

AB

=

BE

BD

，
故BD²=AB•BE．

点评：此题考查了切线的判定及性质、三角形的中位线的判定与性质等腰三角形的性质，解答本题的关键是得出点D是AC中点，求出∠ODE是直角，有一定难度．