Question

【题目】如图，AB是⊙O的直径，点D是AB延长线上的一点，点C在⊙O上，且AC＝CD，∠ACD＝120°．

（1）求证：CD是⊙O的切线；

（2）若⊙O的半径为3，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）．

【解析】

（1）连接OC．只需证明∠OCD＝90°．根据等腰三角形的性质即可证明；

（2）阴影部分的面积即为直角三角形OCD的面积减去扇形COB的面积．

（1）证明：连接OC．

∵AC＝CD，∠ACD＝120°，

∴∠A＝∠D＝30°．

∵OA＝OC，

∴∠ACO＝∠A＝30°．

∴∠OCD＝∠ACD﹣∠ACO＝90°．即OC⊥CD，

∴CD是⊙O的切线．

（2）解：∵∠A＝30°，

∴∠COB＝2∠A＝60°．

∴S扇形BOC＝，

在Rt△OCD中，CD＝OC，

∴

∴图中阴影部分的面积=- S扇形BOC=

∴图中阴影部分的面积为．