Question

（2012•工业园区一模）在△ABC中，AB=AC=5，∠A是锐角，sinA=

24

25

，
（1）如图1，作BD⊥AC垂足为D，求BD、BC的长：
（2）如图2，小明同学过点A作AE⊥BC垂足为E，他发现直线AE平分△ABC的周长和面积，他想是否还存在其它平分△ABC的周长和面积的直线？请你参与小明的探究，如果存在，请说明理由，同时指出有几条直线．（注：备用图不够用可以重新画图）

Answer 1

分析：（1）由BD垂直于AC，得到三角形ABD为直角三角形，根据AB及sinA的值，利用锐角三角函数定义求出BD及AD的长，再由AC-AD求出DC的长，在直角三角形BDC中，利用勾股定理即可求出BC的长；
（2）还存在2条其它平分△ABC的周长和面积的直线，理由为：若直线经过B（或C）点，由直线平分△ABC的面积，则直线必经过AC（或AB）的中点，而此时直线必不平分△ABC的周长，故直线不经过△ABC的顶点，分两种情况考虑：（i）直线与AB（或AC）、BC相交，设直线与AB、BC相交于点D、E，过A、D分别作BC的垂线，垂足为F、H点，如备用图1所示，假设DE平分三角形的周长，设BD=5k，则DF=4k，BE=8-5k，利用三角形的面积公式表示出BDF的面积，根据此三角形面积为三角形ABC面积的一半列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，可得出在BC上取BE=5，在BA上取BD=3，过D、E的直线就是所求的，同理AC，BC相交的直线也存在一条；（ii）直线与AB，AC相交，设直线与AB，AC分别交于D，E，过D作DF⊥AC，垂足为F点，如备用图2所示，设AE=x，则AD=8-x，根据三角形ADE的面积为三角形ABC面积的一半列出关于x的方程，求出方程的解得到x的值，经判断不合题意，舍去，综上，得到满足题意的直线有2条．

解答：解：（1）∵BD⊥AC，
∴∠ADB=90°，
∵在Rt△ABD中，AB=AC=5，sinA=

24

25

，
∴BD=ABsinA=5×

24

25

=

24

5

，
∴根据勾股定理得：AD=

25-( 24 5 )2

=

7

5

，
∴DC=AC-AD=5-

7

5

=

18

5

，
在Rt△BCD中，根据勾股定理得：BC=

( 18 5 )2+( 24 5 )2

=6；
（2）还存在2条其它平分△ABC的周长和面积的直线，理由为：
若直线经过B（或C）点，由直线平分△ABC的面积，则直线必经过AC（或AB）的中点，
而此时直线必不平分△ABC的周长，故直线不经过△ABC的顶点，
分两种情况考虑：
（i）直线与AB（或AC）、BC相交，设直线与AB、BC相交于点D、E，过A、D分别作BC的垂线，垂足为F、H点，
如备用图1所示：
∵AB=AC=5，AH⊥BC，
∴BH=CH=

1

2

BC=3，
在Rt△ABH中，根据勾股定理得：AH=

AB2-BH2

=4，
∴∠DFB=∠AHB=90°，又∠B=∠B，
∴△BDF∽△BAH，
∴BF：FD：BD=BH：AH：AB=3：4：5，
又∵三角形ABC的周长为5+5+6=16，
∴BD+BE=8，
设BD=5k，则DF=4k，BE=8-5k，
∴S_△BDE=

1

2

S_△ABC=

1

4

BC•AH=6，即

1

2

BE•DF=

4k(8-5k)

2

=6，
整理得：5k²-8k+3=0，
解得：k=

3

5

或k=1（舍去），
这时在BC上取BE=5，在BA上取BD=3，过D、E的直线就是所求的，
同理AC，BC相交的直线也存在一条；
（ii）直线与AB，AC相交，设直线与AB，AC分别交于D，E，过D作DF⊥AC，垂足为F点，
如备用图2所示：
设AE=x，则AD=8-x，
∵在Rt△ADF中，sinA=

24

25

，
∴DF=ADsinA=

24

25

（8-x），
当S_△AED=

1

2

AE•DF=

1

2

•x•

24

25

（8-x）=6，
整理得：2x²-16x+25=0，
解得：x₁=4+

14

2

＞5（舍去），x₂=4-

14

2

，
则AD=8-x=4+

14

2

＞5（不合题意，舍去），
综上，还存在2条其它平分△ABC的周长和面积的直线．

点评：此题考查了相似性综合题，涉及的知识有：勾股定理，锐角三角函数定义，一元二次方程的应用，以及解直角三角形，利用了数形结合及分类讨论的思想，是一道多知识的探究题．