Question

9．如果用符号“[a]”表示数字a的整数部分，例如[5.7]=5，[$\frac{5}{3}$]=1，[$\frac{1}{\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}…+\frac{1}{2039}}$]=（　　）

• A． 52
• B． 100
• C． 150
• D． 200

Answer 1

分析 首先根据题意求得代数式的分母$\frac{1}{2001}$+$\frac{1}{2002}$+$\frac{1}{2003}$+…+$\frac{1}{2039}$应该大于$\frac{39}{2039}$而小于$\frac{39}{2001}$，从而得到代数式[$\frac{1}{\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}…+\frac{1}{2039}}$]大于$\frac{2001}{39}$而小于$\frac{2039}{39}$，然后根据取整计算的定义确定该代数式的值即可．

解答 解：∵$\frac{1}{2001}$+$\frac{1}{2039}$=$\frac{4040}{2001×2039}$，$\frac{1}{2002}$+$\frac{1}{2038}$=$\frac{4040}{2002×2038}$，…$\frac{1}{2019}$+$\frac{1}{2021}$=$\frac{4040}{2019×2021}$，
∴$\frac{1}{2001}$+$\frac{1}{2002}$+$\frac{1}{2003}$+…+$\frac{1}{2039}$=$\frac{4040}{2001×2039}$+$\frac{4040}{2002×2038}$+…+$\frac{4040}{2019×2021}$+$\frac{1}{2020}$
=$\frac{4040}{2001×2039}$+$\frac{4040}{2002×2038}$+…+$\frac{4040}{2019×2021}$+$\frac{1}{2020}$
=4040×（$\frac{1}{2001×2039}$+$\frac{1}{2002×2038}$+…+$\frac{1}{2019×2019}$）+$\frac{1}{2020}$
=4040×（$\frac{1}{（2020-19）（2020+19）}$+$\frac{1}{（2020-18）（2020+18）}$+…+$\frac{1}{（2020-1）（2020+1）}$）+$\frac{1}{2020}$
＜4040×（$\frac{1}{2020×2020}$+$\frac{1}{2020×2020}$+…+$\frac{1}{2020×2020}$）+$\frac{1}{2020}$=$\frac{39}{2020}$
∵$\frac{1}{2001}$+$\frac{1}{2002}$+$\frac{1}{2003}$+…+$\frac{1}{2039}$＞$\frac{39}{2020}$
∴$\frac{2020}{39}$＜[$\frac{1}{\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}…+\frac{1}{2039}}$]＜$\frac{2039}{39}$
即51.8＜[$\frac{1}{\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}…+\frac{1}{2039}}$]＜52.2，
∴[$\frac{1}{\frac{1}{2001}+\frac{1}{2002}+\frac{1}{2003}…+\frac{1}{2039}}$]=52．

点评 本题考查了取整计算的问题，解题的关键是根据题意得到$\frac{39}{2039}$＜$\frac{1}{2001}$+$\frac{1}{2002}$+$\frac{1}{2003}$+…+$\frac{1}{2039}$＜$\frac{39}{2001}$，难度中等．