分析 (1)延长EP交DC于点G,由正方形的性质和已知条件可证明△PEF≌△PGD(AAS),进而可证明△CGE是等腰直角三角形,则CP⊥GE,CP=$\frac{1}{2}$EG=PE,所以△CPE是等腰直角三角形.由等腰三角形的性质可得PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE,问题得证;
(2)PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE,延长EP交CD的延长线于点G,由(1)的证明思路即可证得.
解答 解:(1)延长EP交DC于点G,如图(1)所示:
∵∠FEC=∠DCE=90°,
∴EF∥CD,
∴∠PFE=∠PDG,
又∵∠EPF=∠GPD,PF=PD,
∴在△PEF和△PGD中
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PDG}\\{∠EPF=∠GPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$
∴△PEF≌△PGD(AAS),
∴PE=PG,EF=GD,
∵BE=EF,
∴BE=GD.
∵CD=CB,
∴CG=CE,
∴△CGE是等腰直角三角形,
∴CP⊥GE,CP=$\frac{1}{2}$EG=PE,
∴△CPE是等腰直角三角形.
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE;
(2)PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE,理由如下:如图(2)所示:
延长EP交CD的延长线于点G,
∵∠FEB+∠DCB=180°,
∴EF∥CD,
∴∠PEF=∠PGD,
又∵∠EPF=∠GPD,PF=PD,
∴在△PEF和△PGD中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠PFE=∠PDG}\\{∠EPF=∠GPD}\\{PF=PD}\end{array}\right.$,
∴△PEF≌△PGD(AAS),
∴PE=PG,EF=GD,
∵BE=EF,
∴BE=GD.
∵CD=CB,
∴CG=CE,
∴△CGE是等腰直角三角形,
∴CP⊥GE,CP=$\frac{1}{2}$EG=PE,
∴△CPE是等腰直角三角形.
∴PE=$\frac{\sqrt{2}}{2}$CE.
点评 本题考查了四边形的综合性题目,用到的知识点有正方形的性质、全等三角形的判定和性质、等腰三角形三角形的判定和性质,题目的综合性较强,难度较大,熟记各种特殊几何图形的判定方法和性质是解题的关键.
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