Question

已知关于x的方程(x+

a

x

)2-5x-

5a

x

=-6有两个根相等，求a的值．

Answer 1

分析：通过换元可得到两个关于x的含参数a的一元二次方程，利用判别式即可求出a的值．

解答：解：设x+

a

x

=y，则y²-5y=-6，解得y₁=2，y₂=3，
∴x²-2x+a=0①，x²-3x+a=0②，
若①有两个相等的实根，则△₁=4-4a=0，得a₁=1；
若②有两个相等的实根，则△₂=9-4a=0，得a₂=

9

4

．
若①②有公共根，则x²-2x+a=x²-3x+a，得x=0，不合题意，舍去．
故a=1或

9

4

．

点评：本题考查了换元法解方程．运用根的判别式延伸到分式方程、高次方程根的情况的探讨，是近年中考、竞赛中一类新题型，尽管这种探讨仍以一元二次方程的根为基础，但对转换能力、思维周密提出了较高要求．