Question

4．已知正方形ABCD，E为BC的中点，DF=$\frac{1}{2}$CF，求阴影部分占正方形面积的几分之几？

Answer 1

分析 连接CM，CN，利用正方形的性质和全等三角形的判定定理易得△ADN≌△CDN，根据DF=$\frac{1}{2}CF$，易得△ADF的面积，△DNF的面积为△ADN面积的$\frac{1}{3}$，易得△DNF的面积，△ADN的面积，同理可得△BEM与△ABM的面积，易得△AMN的面积，从而得出阴影部分的面积，得出结论．

解答 解：连接CM，CN，
∵四边形ABCD为正方形，
∴AD=CD，∠ADN=∠CDN=45°，
在△ADN与△CDN中，
$\left\{\begin{array}{l}{AD=CD}\\{∠ADN=∠CDN}\\{DN=DN}\end{array}\right.$，
∴△ADN≌△CDN，
∴S_△ADN=S_△CDN，
设正方形的边长为a，
∵DF=$\frac{1}{2}CF$，
∴DF=$\frac{1}{3}DC$=$\frac{1}{3}a$，
∴S_△ADF=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{3}a×a$=$\frac{1}{6}$a²，S_△DNF=$\frac{1}{3}$S_△DNC=$\frac{1}{3}$S_△ADN，
∴S_△ADN=3S_△DNF，
∴S_△ADF=4S_△DNF=$\frac{1}{6}$a²，
∴S_△DNF=$\frac{1}{24}$a²，S_△ADN=$\frac{1}{6}{a}^{2}$-$\frac{1}{24}{a}^{2}$=$\frac{1}{8}{a}^{2}$，
同理可得，△ABM≌△CBM，
S_△ABE=$\frac{1}{2}$×$\frac{1}{2}a×a$=$\frac{1}{4}$a²，
S_△BEM=$\frac{1}{2}$S_△BMC=$\frac{1}{2}$S_△ABM，
∴S_△ABM=2S_△BEM，
∴3S_△BEM=S_△ABE=$\frac{1}{4}{a}^{2}$，
∴S_△BEM=$\frac{1}{12}$a²，
∴S_△ABM=$\frac{1}{4}{a}^{2}$-$\frac{1}{12}{a}^{2}$=$\frac{1}{6}{a}^{2}$
∵S_△AMN=S_△ABD-S_△ABM-S_△ADN=$\frac{1}{2}$a²-$\frac{1}{6}{a}^{2}$-$\frac{1}{8}{a}^{2}$=$\frac{5}{24}{a}^{2}$，
∴S_阴影=$\frac{5}{24}{a}^{2}$+$\frac{1}{12}{a}^{2}$+$\frac{1}{24}{a}^{2}$=$\frac{1}{3}{a}^{2}$，
∵S_正方形=a²，
∴阴影部分占正方形面积的$\frac{1}{3}$．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质与正方形的性质，注意掌握等高三角形面积的比等于底的比是解此题的关键．