Question

如图1，在平面直角坐标系中，边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，O为坐标原点．现将正方形OABC绕O点按顺时针方向旋转．
（1）当点A第一次落到y轴正半轴上时，求边BC在旋转过程中所扫过的面积；
（2）若线段AB与y轴的交点为M（如图2），线段BC与直线y=x的交点为N．设△MNB的周长为l，在正方形OABC旋转的过程中l值是否有改变？并说明你的结论；
（3）设旋转角为θ，当θ为何值时，△OMN的面积最小？求出这个最小值，并求出此时△BMN的内切圆半径．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：探究型

分析：（1）根据正方形的性质得出∠AOB=∠BOC=45°，BO=

2

，再利用S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′求出即可；
（2）首先延长BA交直线y=-x于E点，Rt△AEO≌Rt△CNO，得出AE=CN，OE=ON，进而得出△MOE≌△MON，得出ME=MN，进而得出l的值不变；
（3）设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，利用 MN+MB+NB=2，得出m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，即可得出m的取值范围，即可得出，△OMN的面积最小值，再利用直角三角形内切圆半径求法得出答案即可．

解答：解：（1）设旋转后C在C′、B在B′、A在A′，
∵边长为1的正方形OABC的顶点B在y轴的正半轴上，
∴BO平分∠AOC，即∠AOB=∠BOC=45°，BO=

2

S=S_扇形OBB′+S_△OC′B′-S_△OCB-S_扇形OCC′，
=S_扇形OBB′-S_扇形OCC′，
=

45π×( 2 )2

360

-

45π×12

360

，
=

π

8

；

（2）延长BA交直线y=-x于E点，
在Rt△AEO与Rt△CNO中，
∵直线y=-x与直线y=x垂直，
∴∠EON=90°，
∵∠AOC=90°，
∴∠AOE=∠CON，
即

∠EAO=∠C=90° ∠AOE=∠CON AO=CO

，
∴Rt△AEO≌Rt△CNO，
所以AE=CN，OE=ON．
又∠MOE=∠MON=45°，
所以△MOE≌△MON，
ME=MN．
所以：
l=MN+MB+BN，
=ME+MB+BN，
=BE+BN，
=BA+AE+BN，
=BA+CN+BN，
=AB+BC，
=2，
故△MBN的周长为定值2．

（3）当θ=22.5°时，△OMN的面积最小，
因为S_△OMN=S_△MOE=

1

2

OA•ME=

1

2

ME=

1

2

MN，
设MN=m，AM=t．由（2）知，在Rt△MNB中，MN²=MB²+NB²，
因为  MN+MB+NB=2，
所以m²=（1-t）²+（2-m-1+t）²，
得：t²-mt+1-m=0，
因为△=m²-4（1-m）≥0，
所以m≤-2-2

2

（舍去）或m≥2

2

-2，
所以S_△OMN的最小值为：

1

2

×（2

2

-2）=

2

-1．
此时△=0，
∴t=

m

2

=

ME

2

，
∴A为ME的中点．
又因为OA⊥ME，所以OA是∠MOE的平分线，所以θ=22.5°．
在Rt△MNB中，BM=1-t=2-

2

，BN=2-MN-BM=2-

2

，MN=2

2

-2，
设Rt△BMN的内切圆半径为r，
所以  r=

BM+BN-MN

2

=3-2

2

．

点评：此题主要考查了一次函数的综合应用以及根的判别式、全等三角形的判定与性质、扇形面积求法等知识，利用图形旋转的变化规律得出对应边之间关系是解题关键．