Question

如图，△ABC是等边三角形，AE=CD，BQ⊥AD于Q，BE交AD于P．
①求∠PBQ的度数．②判断PQ与BP的数量关系．

Answer 1

分析：由题中条件易证△ABE≌△ACD，则∠ABE=∠CAD，进而再利用角之间的关系求解∠PBQ及线段之间的数量关系．

解答：解：∵△ABC是等边三角形，
∴AB=AC，∠BAC=∠C=60°．
又∵AE=CD，
∴△ABE≌△ACD，
∴∠ABE=∠DAC．
又∵∠BPQ=∠ABE+∠BAD，
∴∠BPQ=∠DAE+∠BAD=60°，
∴在Rt△BPQ中，∠PBQ=30°，
∴PQ=

1

2

BP．

点评：本题考查了全等三角形的判定与性质及等边三角形的性质、含30°角的直角三角形的知识；能够运用等边三角形的性质解决一些全等问题，会通过角之间的转化建立平衡，求解一些简单的计算问题．将求∠PBQ的度数转成求∠BPQ的度数是解答本题的关键．