Question

2．在平面直角坐标系中，直线y=x+4与x轴分别交于A、B两点，抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，并于x轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的表达式及点C的坐标；
（2）若点P在第二象限内，过点P作PD⊥x轴于D，交AB于点E，当点P运动到什么位置时，线段PE的最长？此时PE等于多少？

Answer 1

分析 （1）先由直线解析式求出A、B两点坐标，再将A、B两点坐标代入抛物线解析式求出b、c，进而确定C点坐标；
（2）P、E横坐标一样，PE的长度就是P点与E点的纵坐标之差，将P、E的纵坐标分别用横坐标表示出来，从而把PE长度表示成横坐标的二次函数，配方求出最大值．

解答 解：（1）∵y=x+4与x轴、y轴分别交于A、B两点，
∴A（-4，0），B（0，4），
∵抛物线y=-x²+bx+c经过A、B两点，
∴c=4，-16-4b+c=0，
∴b=-3，c=4，
∴抛物线的解析式为y=-x²+-3x+4，
∵y=-x²+-3x+4=-（x-1）（x+4），
∴C（1，0），
（2）设P点的坐标为（m，-m²-3m+4），则E点的坐标为（m，m+4），
∴PE=（-m²-3m+4）-（m+4）=-m²-3m+4-m-4=-m²-4m=-m²-4m-4+4=-（m+2）²+4，
∴当m=-2时，PE取得最大值4，
此时P点坐标为（-2，6），
即当P点坐标为（-2，6）时，PE最长=4．

点评 本题本查了待定系数法求二次函数解析式、线段长度的坐标表示方法、配方法求二次函数最值等知识点，难度不大．需要强调的是，第（2）问当中用两点的纵坐标之差表示竖直方向线段的长度这种方法非常重要，在求解类似问题时经常用到，要引起重视．