Question

【题目】如图，直线交x轴于点A（8，0），直线经过点A，交y轴于点B，点P是直线上的一个动点，过点P作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，两条垂线交于点D，连接PB，设点P的横坐标为m.

(1)若点P的横坐标为m，则PD的长度为 （用含m的式子表示）；

(2)如图1，已知点Q是直线上的一个动点，点E是x轴上的一个动点，是否存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，若存在，求出E的坐标；若不存在，说明理由；

(3)如图2，将△BPD绕点B旋转，得到△BD′P′，且旋转角∠PBP′=∠OCA，当点P的对应点P′落在坐标轴上时，请直接写出点P的坐标.

Answer 1

【答案】（1）；（2）存在，点E坐标为（，0）或（，0）；（3）P′坐标为（-，0）或（8，0）.

【解析】

（1）直线解析式可得B点坐标，根据P横坐标可求出点P的纵坐标，根据两点间距离公式即可求出PD的长度；（2）分AB为边且点E在点A右侧、左侧和AB为对角线三种情况讨论，分别求出E点坐标即可；（3）①当m<0时，过D′作EF⊥BD，交x轴于E，BD与F，可得P(m，m-4)，D(m，-4)，可用m表示PD、BD的长，利用勾股定理可得出BP的长，根据A、B、C三点坐标可求出AC、OC、OB的长，利用旋转的性质可得∠PBP′=∠OCA=∠DBD′，即可证明△OCA∽△FBD′，根据相似三角形的性质可得FB=OE的长，利用同角的余角相等的性质可得∠ED′P′=∠FBD′=∠OCA，即可证明△D′EP′∽△COA，可得EP′的长，即可求出OP′的长，利用勾股定理列方程即可求出m的值，可求出OP′的长，即可得P′坐标；②当m>0时，同①可得△OCA∽△FBD′，△D′EP′∽△COA，即可求出OP′的长，可得P′坐标.综上即可得答案.

（1）∵直线经过点A，交y轴于点B，

∴B坐标为(0，-4)，

∵点P是直线上的一个动点，点P的横坐标为m，

∴点P的纵坐标为m-4，

∵PD⊥BD，

∴PD==，

故答案为：

（2）∵直线AB的解析式为：，

∴B（0，-4），

∵直线交x轴于点A（8，0），

∴×(-8)+n=0，

解得：n=6，

∴直线AC的解析式为y=x+6，

∴C（0，6），

①如图，当AB为边，且点E在A点右侧时，

∵四边形ABEP是平四边形，

∴BE//AP，

∵直线AP的解析式为y=x+6，B(0，-4)

∴直线BE的解析式为：y=x-4，

令y=0，得：x-4=0，

解得：x=，

∴E（，0），

②当AB为边，点E在点A左侧时，

∵四边形EAPB是平行四边形，

∴PE//AB，PB//AE，

∵B（0，-4），

∴把y=-4代入y=x+6得：x=，

∴P点坐标为（，-4），

设直线PE的解析式为y=x+b，

把P点坐标代入得：×()+b=-4，

解得：b=，

∴直线PE的解析式为y=x，

令y=0得：x=0，

解得：x=，

∴点E坐标为（，0）.

③当AB为对角线时，

∵四边形APBE是平行四边形，

∴BE//AP，

同①可得E点坐标为（，0），

综上所述：存在以A，B，E，Q为顶点的平行四边形，点E坐标为（，0）或（，0）.

（3）①如图，当m<0时，过D′作EF⊥BD，交x轴于E，BD与F，

∵A（-8，0），C（0，6），B（0，-4），

∴AC=10，OC=6，OB=4，

∵点P在直线y=x-4图象上，BD//y轴，BD⊥PD，

∴P(m，m-4)，D(m，-4)，

∴DP=m-4-（-4）=m，BD=-m，

∴PB2=PD2+BD2=m2，

∵旋转角∠PBP′=∠OCA=∠DBD′，∠D′FB=∠OCA，

∴△OCA∽△FBD′，

∴，

∵△BPD绕点B旋转，得到△BD′P′，

∴P′B=PB，BD′=BD=-m，D′P′=DP=m，∠P′D′B=∠PDB=90°，

∴，

解得：FB=m，

∴OE=FB=m，

∵∠FD′B+∠FBD′=90°，∠ED′P′+∠FD′B=90°，

∴∠ED′P′=∠FBD′=∠OCA，

又∵∠D′EP′=∠AOC=90°，

∴△D′EP′∽△COA，

∴，即，

解得：EP′=，

∴P′O=OE-EP=m-（）=-m，

∴P′B2=P′O2+OB2，即m2=(-m)2+42，

解得：m=-或m=，

∵m<0，

∴m=-，

∴OP′=-m=，

∴P′坐标为（-，0），

②如图，当m>0时，过D′作EF⊥BD，交x轴于E，BD于F，P(m，m-4)，D(m，-4)，

∴P′D′=PD=m，BD′=BD=m，P′B2=PB2=m2，

同①可得△OCA∽△FBD′，△D′EP′∽△COA，

∴BF=OE=m，EP′=m，

∴P′O=OE+EP′=m+m=m，

∴P′O2+OB2=P′B2，即m2+42=m2，

解得：m=±8，

∵m>0，

∴m=8，

∴OP′=m=8，

∴P′坐标为（8，0）.

综上所述：P′坐标为（-，0）或（8，0）.