Question

如图，在直角坐标系中有一个半径为r的圆A，圆心A在x轴的正半轴上，从坐标原点O向圆A作切线，切点是B．
（1）如果，OA与半径r的差是3，求圆A的半径r，点A的坐标及∠AOB的正弦值；
（2）设∠AOB=α，在图中确定一个与2α大小相等的角（可以添加辅助线），并说明理由；
（3）在（2）的基础上，试探究sin2α与2sinα是否相等．如果相等，请说明理由；如果不相等，请你找出它们之间正确的关系式．

Answer 1

解：（1）AB=r，，OA=r+3，
∵OB与圆A相切，
∴AB⊥BO，
∴∠ABO=90°，
在Rt△OAB中，OA²=AB²+OB²，
∴，
∴r=3，
∴A（6，0），
∴，

（2）如图，取OA的中点D，过点D作OA的垂线，交OB于点C，连接AC，
∵DC是OA的垂直平分线，
∴OC=AC，
∴∠COA=∠CAO=α，
∴∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α．

（3）由（1）可知∠B=90°，
∴在Rt△ABO中，，
由（2）可知DC⊥OA，
∴∠CDO=90°在Rt△ABC中，
在Rt△ABO和Rt△CDO中，∠O=∠O，∠CDO=∠B，
∴△ABO∽△CDO，
∴，
∴，
∵，且OC=AC，
∴，
∴=2cosα•sinα．
分析：（1）根据题意设出圆的半径为r，根据切线的性质，勾股定理即可推出r的长度，即可推出A点的坐标，
（2）作辅助线，取OA的中点D，过点D作OA的垂线，交OB于点C，连接AC，则OC=AC，推出∠ACB=∠AOC+∠CAO=2α，
（3）根据（1）和（2）推出的结论，即得：，，，然后根据△ABO∽△CDO，推出，由，推出sin2α==2cosα•sinα．
点评：本题主要考查相似三角形的判定与性质，解直角三角形，切线的性质，勾股定理的运用，全等三角形的判定与性质，关键在于熟练并正确地运用各性质定理，认真进行等量代换．