Question

如图1所示，直角梯形OABC的顶点A、C分别在y轴正半轴与x轴负半轴上．过点B、C作直线l．将直线l平移，平移后的直线l与x轴交于点D，与y轴交于点E．设平移距离CD为t（t≥0），直角梯形OABC被直线l扫过的面积（图中阴影部份）为s，s关于t的函数图象如图2所示，OM为线段，MN为抛物线的一部分，NQ为射线，且NQ平行于x轴，M的坐标是（2，8），N点的横坐标是4．

（1）求梯形上底长AB=

 

．
（2）求直角梯形OABC的面积．
（2）求S关于t的函数解析式并写出相应的t取值范围．

Answer 1

考点：二次函数综合题

专题：

分析：（1）结合两个图形可知M点坐标为（2，8），从而得AB=2，OA=4；
（2）由N的横坐标为4，即可得直角梯形的面积．
（3）利用当0≤t≤2时，当2＜t＜4时，阴影部分的面积=直角梯形OABC的面积-三角形ODE的面积，只要求得三角形的面积即可，把OD、OE用含t的式子表示出来，即可得到三角形的面积，由第（2）问已求得直角梯形的面积，代入从而得到阴影部分的面积，再利用t≥4时求出即可．

解答：解：（1）由图（2）知，M点的坐标是（2，8）
∴由此判断：AB=2，OA=4；
故答案为：2；

（2）∵N点的横坐标是4，NQ是平行于x轴的射线，
∴CO=4，
∴直角梯形OABC的面积为：

1

2

（AB+OC）×OA=

1

2

×（2+4）×4=12；

（3）当0≤t≤2时，设直线解析式为：s=kt，将（2，8）代入得：
8=2k，
解得：k=4，
∴直线解析式为：s=4t；
当2＜t＜4时，
阴影部分的面积=直角梯形OABC的面积-三角形ODE的面积
∴s=12-

1

2

OD•OE，
∵∠EDO=∠BCO，
∴tan∠EDO=

OE

OD

=tan∠BCD=

OA

OC-AB

=

4

4-2

=2，
∵OD=4-t，
∴OE=2（4-t），
∴s=12-

1

2

×2（4-t）•（4-t）=12-（4-t）²
s=-t²+8t-4．
当t≥4时，s=12（t≥4），
综上所述：s=

4t(0≤t≤2) -t2+8t-4(2＜t＜4) 12(t≥4)

．

点评：本题主要考查了直角梯形、三角形面积、二次函数等知识，利用分类讨论得出是解题关键．