Question

8．己知：在等腰三角形ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，以AC为边作等边三角形ACE，直线BE交直线AD于点F，连接FC．
（1）如图1，120°＜∠BAC＜180°，△ACE与△ABC在直线AC的异侧，且FC交AE于点M．
①求证：∠FEA=∠FCA；
②猜想线段FE，FA，FD之间的数量关系，并证明你的结论：
（2）当60°＜∠BAC＜120°，且△ACE与△ABC在直线AC的同侧时，利用图2画出图形探究线段FE，FA，FD之间的数量关系，并直接写出你的结论．

Answer 1

分析 （1）①利用中垂线得到∠FBC=∠FCB，从而得到∠FBA=∠FCA，再由等边三角形的性质得到∠ABF=∠AEF即可；
②先得到∠EFC=∠EAC=60°，从而判断出∠ACD+∠ACF=30°，进而得出∠FCK=∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可；
（2）先判断出A，E，F，C四点共圆，得出∠EAF=∠ECF，再用直角三角形的性质和等量代换得出∠FCK=∠ECF，判断出△CFE≌△CFK，即可．

解答 解：（1）①∵AD⊥BC，AB=AC，
∴BD=DC，
∴FB=FC，
∴∠FBC=∠FCB，
∴AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB，
∵∠FBA=∠FCA，
∵以AC为边作等边三角形ACE，
∴AE=AC=AB，
∴∠ABF=∠AEF，
∴∠ACF=∠AEF，
即：∠FEA=∠FCA；
②结论：EF=2FD-AF，
∵以AC为边作等边三角形ACE，
∴∠EAC=60°，
由①有，∠ACF=∠AEF，
∴∠EFC=∠EAC=60°，
由①得，BF=CF，FD⊥BC，
∴∠BFD=∠CFD，
∵∠BFD+∠CFD+∠EFC=180°，
∴∠BFD=∠CFD=$\frac{180°-∠EFC}{2}$=60°，
∴∠FCD=90°-∠CFD=30°，
∴∠ACD+∠ACF=30°，
∴∠ECF=∠ECA-∠ACF=60°-∠ACF=60°-（30°-∠ACD）=30°+∠ACD，
如图1，

延长AD，在AD上截取AD=DK，连接CK，
∵AD⊥BC，
∴∠ACD=∠KCD，CA=CK
∴∠FCK=∠FCD+∠KCD=∠ACF+∠ACD+∠KCD=30°+∠KCD=30°+∠ACD，
∴∠FCK=∠ECF，
∵AC=CE，AC=CK，
∴CK=CE，
在△CFE和△CFK中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCE=∠FCK}\\{CE=CK}\end{array}\right.$，
∴△CFE≌△CFK，
∴FE=FK=FD+DK，
∵AD=DK，
∴FE=2FD-AF；
（2）②结论：EF=FA-2FD，
如图2，延长AD至K，使DK=AD，

∵AB=AC，AD⊥BC，
∴点F在线段BC的垂直平分线上，
∴AF=CF，
∴∠CBF=∠BCF，
∴∠ABF=∠ACF，
∵△ACE是等边三角形，
∴AE=AC，
∵AB=AC，
∴AB=AE，
∴∠ABF=∠AEB，
∴∠ACF=∠AEB，
∴A，E，F，C四点共圆，
∴∠EAF=∠ECF，
∵∠FCK=∠ACK-∠ACF
=2∠ACD-∠ACF
=2（90°-∠CAD）-∠ACF
=180°-2∠CAD-∠ACF
=180°-2（∠EAC-∠EAF）-∠ACF
=180°-2（60°-2∠EAF）-∠ACF
=60°+2∠EAF-∠ACF
=60°+2∠ECF-（∠ACE+∠ECF）
=60°+2∠ECF-（60°+∠ECF）
=∠ECF
∵AC=CE，AC=CK，
∴CK=CE，
在△CFE和△CFK中，$\left\{\begin{array}{l}{CF=CF}\\{∠FCE=∠FCK}\\{CE=CK}\end{array}\right.$，
∴△CFE≌△CFK，
∴FE=FK=FD+DK，
∵AD=DK，
∴FE=FA-2FD；

点评 此题是三角形综合题，主要考查了等边三角形的性质，全等三角形的性质和判定，解本题的关键是结论∠FCK=∠ECF的判定．作辅助线是解本题的难点．