Question

设方程4x²-7x+3=0的两根为x₁，x₂，不解方程，求下列各式的值：
（1）x₁²+x₂²；
（2）x₁-x₂；
（3）

x1

+

x2

；
（4）x₁x₂²+

1

2

x₁．

Answer 1

考点：根与系数的关系

专题：

分析：由方程4x²-7x+3=0的两根为x₁，x₂，根据根与系数的关系可得x₁+x₂=

7

4

，x₁•x₂=

3

4

；
（1）由x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂，即可求得答案；
（2）由x₁-x₂=±

(x1+x2)2-4x1x2

，即可求得答案；
（3）由（

x1

+

x2

）²=x₁+x₂+2

x1x2

，即可求得答案；
（4）由x₁x₂²+

1

2

x₁=x₁x₂•x₂+

1

2

x₁=

3

4

x₂+

1

2

x₁=

6

8

x₂+

4

8

x₁=

5

8

（x₂+x₁）+

1

8

（x₂-x₁），即可求得答案．

解答：解：∵方程4x²-7x+3=0的两根为x₁，x₂，
∴x₁+x₂=

7

4

，x₁•x₂=

3

4

；
（1）x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁•x₂=

49

16

-

3

2

=

25

16

；

（2）x₁-x₂=±

(x1+x2)2-4x1x2

=±

( 7 4 )2-4× 3 4

=±

1

4

；

（3）∵（

x1

+

x2

）²=x₁+x₂+2

x1x2

=

7

4

+2×

3

2

=

7

4

+

3

，
∴

x1

+

x2

=

2+ 3

2

；

（4）∵x₁x₂²+

1

2

x₁=x₁x₂•x₂+

1

2

x₁=

3

4

x₂+

1

2

x₁=

6

8

x₂+

4

8

x₁=

5

8

（x₂+x₁）+

1

8

（x₂-x₁），
∴原式=

9

8

或

17

16

．

点评：此题考查了根与系数的关系．此题难度适中，注意若二次项系数不为1，则常用以下关系：x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-

b

a

，x₁x₂=

c

a

，反过来也成立，即

b

a

=-（x₁+x₂），

c

a

=x₁x₂．