Question

【题目】如图，在△ABC中，AB＝BC，AD⊥BC于点D，BE⊥AC于点E，AD与BE交于点F，BH⊥AB于点B，点M是BC的中点，连接FM并延长交BH于点H．

（1）在图①中，∠ABC＝60°，AF＝3时，FC＝　 　，BH＝　 　；

（2）在图②中，∠ABC＝45°，AF＝2时，FC＝　 　，BH＝　 　；

（3）从第（1）、（2）中你发现了什么规律？在图③中，∠ABC＝30°，AF＝1时，试猜想BH等于多少？并证明你的猜想．

Answer 1

【答案】（1）3，3；（2）2，2；（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH， BH＝1，见解析

【解析】

（1）如图①连接CF，由垂心的性质可得CF⊥AB，可得CF∥BH，由“ASA”可证△BMH≌△CMF，可得BH＝CF，由线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，可得AF＝CF＝BH＝3；

（2）如图②连接CF，由垂心的性质可得CF⊥AB，可得CF∥BH，由“ASA”可证△BMH≌△CMF，可得BH＝CF，由线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，可得AF＝CF＝BH＝2；

（3）如图③连接CF，由垂心的性质可得CF⊥AB，可得CF∥BH，由“ASA”可证△BMH≌△CMF，可得BH＝CF，由线段垂直平分线的性质可得AF＝CF，可得AF＝CF＝BH＝1．

解：（1）如图①连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝3，

（2）如图②，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝2，

（3）从第（1）、（2）中发现AF＝CF＝BH；

猜想BH＝1，

理由如下：

如图③，连接CF，

∵AD⊥BC，BE⊥AC，

∴CF⊥AB，

∵BH⊥AB，

∴CF∥BH，

∴∠CBH＝∠BCF，

∵点M是BC的中点，

∴BM＝MC，

在△BMH和△CMF中，

∴△BMH≌△CMF（ASA），

∴BH＝CF，

∵AB＝BC，BE⊥AC，

∴BE垂直平分AC，

∴AF＝CF，

∴BH＝AF，

∴AF＝CF＝BH＝1．