Question

如图一，平面直角坐标系中有一张矩形纸片OABC，O为坐标原点，A点坐标为（10，0），C点坐标为（0，6），D是BC边上的动点（与点B，C不重合），现将△COD沿OD翻折，得到△FOD；再在AB边上选取适当的点E，将△BDE沿DE翻折，得到△GDE，并使直线DG、DF重合．
（1）如图二，若翻折后点F落在OA边上，求直线DE的函数关系式；
（2）设D（a，6），E（10，b），求b关于a的函数关系式，并求b的最小值；
（3）一般地，请你猜想直线DE与抛物线y=-

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x²+6的公共点的个数，在图二的情形中通过计算验证你的猜想；如果直线DE与抛物线y=-

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x²+6始终有公共点，请在图一中作出这样的公共点．

Answer 1

分析：（1）当F落在OA上时，四边形OCDF和四边形DGEB都是正方形，因此CD=DF=OC=6，即D点的坐标为（6，6），而GF=DF-DG=DF-（BC-CD）=6-（10-6）=2，因此E点的坐标为（10，2）．然后可用待定系数法求出直线DE的解析式．
（2）根据D、E的坐标可知：CD=a，BE=6-b，BD=BC-CD=10-a，可根据相似三角形△OCD和△DBE得出的关于OC、CD、DB、BE的比例关系式求出b、a的函数关系式．然后可根据函数的性质得出b的最小值及对应的a的值．
（3）可将（1）中得出的直线DE的解析式联立抛物线的解析式，看得出的一元二次方程的根的判别式△的值与0的关系即可得出交点的个数．

解答：（1）解：∵∠DFO=∠DCO=∠COF=90°，
OC∥DF，
∵CD∥OA，
∴四边形COFD是矩形，
∵根据△COD沿OD翻折，得到△FOD，
∴OC=OF=6，
∴四边形COFD是正方形，
同理四边形BDGE是正方形，
∴CD=OF=DF=6，OA=10，AE=6-4=2，
∴D（6，6），E（10，2），
设直线DE的解析式是y=kx+b，
代入得：

2=10k+b 6=6k+b

，
解得：k=-1，b=12，
∴直线DE的函数关系式是y=-x+12．

（2）依题意有：CD=a，BD=10-a，BE=6-b．
∵∠ODE=90°，∠OCD=90°，
∴∠CDO+∠COD=∠CDO+∠BDE=90°
∴∠COD=∠BDE
∵∠OCD=∠B=90°
∴△OCD∽△DBE
∴

BD

OC

=

BE

CD

∴

10-a

6

=

6-b

a

∴b=

1

6

a²-

5

3

a+6=

1

6

（a-5）²+

11

6

当a=5时，b_最小值=

11

6

．

（3）猜想：直线DE与抛物线y=-

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x²+6只有一个公共点．
证明：由（1）可知，DE所在直线为y=-x+12．
代入抛物线，得-

1

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x²+6=-x+12
化简得x²-24x+144=0，所以△=0．
所以直线DE与抛物线y=-

1

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x²+6只有一个公共点．
解得：x=12，
∴y=0，
公共点为：（12，0）．
∴延长OF交DE于点H，点H即为公共点．

点评：本题着重考查了待定系数法求一次函数解析式、图形翻折变换、三角形相似、矩形的性质等重要知识点，综合性强，考查学生数形结合的数学思想方法．