Question

11．对平面直角坐标系中的点P（x，y），定义d=|x|+|y|，我们称d为P（x，y）的幸福指数．对于函数图象上任意一点P（x，y），若它的幸福指数d≥1恒成立，则称此函数为幸福函数，如二次函数y=x²+1就是一个幸福函数，理由如下：设P（x，y）为y=x²+1上任意一点，d=|x|+|y|=|x|+|x²+1|，∵|x|≥0，|x²+1|=x²+1≥1，∴d≥1．∴y=x²+1是一个幸福函数．
（1）若点P在反比例函数y=$\frac{1}{x}$的图象上，且它的幸福指数d=2，请直接写出所有满足条件的P点坐标；
（2）一次函数y=-x+1是幸福函数吗？请判断并说明理由；
（3）若二次函数y=x²-（2m+1）x+m²+m（m＞0）是幸福函数，试求出m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）设点P的坐标为（m，$\frac{1}{m}$），根据幸福指数的定义，即可得出关于m的分式方程，解之经检验即可得出结论；
（2）设P（x，y）为y=-x+1上的一点，分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围，由此即可得出一次函数y=-x+1是幸福函数；
（3）设P（x，y）为y=x²-（2m+1）x+m²+m上的一点，由y=x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）（x-m-1）且m＞0，可知分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段寻找m的取值范围，利用配方法以及二次函数的性质结合幸福函数的定义即可求出m的取值范围，综上即可得出结论．

解答 解：（1）设点P的坐标为（m，$\frac{1}{m}$），
∴d=|m|+|$\frac{1}{m}$|=2，
解得：m₁=-1，m₂=1，
经检验，m₁=-1、m₂=1是原分式方程的解，
∴满足条件的P点坐标为（-1，-1）或（1，1）．
（2）一次函数y=-x+1是幸福函数，理由如下：
设P（x，y）为y=-x+1上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|-x+1|，
当x＜0时，d=|x|+|-x+1|=-x-x+1=1-2x＞1；
当0≤x≤1时，d=|x|+|-x+1|=x-x+1=1；
当x＞1时，d=|x|+|-x+1|=x+x-1=2x-1＞1．
∴对于y=-x+1上任意一点P（x，y），它的幸福指数d≥1恒成立，
∴一次函数y=-x+1是幸福函数．
（3）设P（x，y）为y=x²-（2m+1）x+m²+m上的一点，d=|x|+|y|=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|，
∵y=x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）（x-m-1），m＞0，
∴分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1考虑．
①当x≤0时，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=-x+x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m-1）²-m-1，
当x=0时，d取最小值，最小值为m²+m，
∴m²+m≥1，
解得：m≥$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$；
②0＜x＜m时，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=x+x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）²+m-1≥1，
∵（x-m）²≥0，
∴m-1≥1，
解得：m≥2；
③当m≤x≤m+1时，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=x-x²+（2m+1）x-m²-m=-（x-m-1）²+m+1，
当x=m时，d取最小值，最小值为m，
∴m≥1；
④当x＞m+1时，d=|x|+|x²-（2m+1）x+m²+m|=x+x²-（2m+1）x+m²+m=（x-m）²+m-1＞m≥1，
∴m≥1．
综上所述：
∴-（m+1）≥1，
解得：若二次函数y=x²-（2m+1）x+m²+m（m＞0）是幸福函数，m的取值范围为m≥2．

点评 本题考查了二次函数的性质、完全平方公式、因式分解法解一元二次方程以及绝对值，解题的关键是：（1）根据幸福指数的定义，找出关于m的分式方程；（2）分x＜0、0≤x≤1和x＞1三种情况找出d的取值范围；（3）分x≤0、0＜x＜m、m≤x≤m+1、x＞m+1四段考虑．