Question

5．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=8cm，BC=4cm，D、E分别为边AB、BC的中点，连结DE，点P从点A出发，沿折线AD-DE-EB运动，到点B停止．当点P在线段AD上时速度是$\sqrt{5}$cm/s，在折线DE-EB上时速度是1cm/s．设点P的运动时间为t（s），且t＞0，过点P作PQ⊥AC于点Q，以PQ为边作正方形PQMN，使点M落在线段AC上．
（1）AD=2$\sqrt{5}$（填数值）；当点P在线段DE上运动时，线段DP的长为（t-2）cm（用含t的代数式表示）．
（2）当点N与点D重合时，求t的值．
（3）当点N落在线段BD上时（不包括端点D、B），求t的值．
（4）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，设五边形的面积为S（cm²），求S与t的函数关系式．

Answer 1

分析 （1）根据勾股定理求出AB，根据D为AB中点，求出AD，根据点P在AD上的速度，即可求出点P在AD段的运动时间，再求出点P在DP段的运动时间，最后根据DE段运动速度为1cm/s，即可求出DP；
（2）点D与点N重合，P位于线段DE上，求出DP=DM=2，再根据DP=t-2，得出t-2=2，
（3）点P位于线段EB上，求出PC=t-4，根据PN∥AC，求出PN=16-2t，根据PN=PC，得16-2t=t-4，求出t即可；
（4）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，①当2＜t＜4时，求出DP=t-2，PQ=2，AQ=2+t，AM，根据MN∥BC，求出FM=$\frac{1}{2}$t，
再根据S=S_梯形AQPD-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（DP+AQ）•PQ-$\frac{1}{2}$AM•FM代入计算即可；
②当$\frac{20}{3}$＜t＜8时，求出PC=t-4，AM=12-t，FM=6-$\frac{1}{2}$t，PG=16-2t，再根据S=S_梯形AQPG-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（PG+AC）•PC-$\frac{1}{2}$AM•FM代入计算即可．

解答 解：（1）∵在Rt△ABC中，AC=8cm，BC=4cm，
∴AB=$\sqrt{A{C}^{2}+B{C}^{2}}$=$\sqrt{{8}^{2}+{4}^{2}}$=4$\sqrt{5}$，
D为AB中点，∴AD=2$\sqrt{5}$，
∴点P在AD段的运动时间为$\frac{2\sqrt{5}}{\sqrt{5}}$=2s．
如图（1）当点P在线段DE上运动时，DP段的运动时间为（t-2）s，
∵DE段运动速度为1cm/s，
∴DP=（t-2）cm，
故答案为：2$\sqrt{5}$，（t-2）cm；

（2）

如图（2）a，此时点D与点N重合，P位于线段DE上．
由三角形中位线定理可知，DM=$\frac{1}{2}$BC=2，
∴DP=DM=2．
由（1）知，DP=t-2，
∴t-2=2，
∴t=4；

（3）如图（2）b，此时点P位于线段EB上．
∵DE=$\frac{1}{2}$AC，AC=8cm，
∴点P在DE段的运动时间为4s，
∴PE=t-6，
∴PB=BE-PE=8-t，PC=PE+CE=t-4．
∵PN∥AC，
∴PN：PB=AC：BC=2，
∴PN=2PB=16-2t．
由PN=PC，得16-2t=t-4，解得t=$\frac{20}{3}$，
所以，当点N落在AB边上时，t=4或t=$\frac{20}{3}$；
故答案为：t=4或t=$\frac{20}{3}$；

（4）当正方形PQMN与△ABC重叠部分图形为五边形时，有两种情况，如下图所示：

①当2＜t＜4时，如图（3）a所示．
DP=t-2，PQ=2，∴CQ=PE=DE-DP=4-（t-2）=6-t，AQ=AC-CQ=2+t，AM=AQ-MQ=t．
∵MN∥BC，
∴FM：AM=BC：AC=1：2，
∴FM=$\frac{1}{2}$AM=$\frac{1}{2}$t，
S=S_梯形AQPD-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（DP+AQ）•PQ-$\frac{1}{2}$AM•FM=$\frac{1}{2}$[（t-2）+（2+t）]×2-$\frac{1}{2}$t•$\frac{1}{2}$t=-$\frac{1}{4}$t²+2t；
②当$\frac{20}{3}$＜t＜8时，如图（3）b所示．
PE=t-6，
∴PC=CM=PE+CE=t-4，AM=AC-CM=12-t，PB=BE-PE=8-t，
∴FM=$\frac{1}{2}$AM=6-$\frac{1}{2}$t，PG=2PB=16-2t，
S=S_梯形AQPG-S_△AMF=$\frac{1}{2}$（PG+AC）•PC-$\frac{1}{2}$AM•FM=$\frac{1}{2}$[（16-2t）+8]×（t-4）-$\frac{1}{2}$（12-t）•（6-$\frac{1}{2}$t）=-$\frac{5}{4}$t²+22t-84．
∴综上所述，S与t的关系式为：S=$\left\{\begin{array}{l}{-\frac{1}{4}{t}^{2}+2t（2＜t＜4）}\\{\frac{5}{4}{t}^{2}+22t-84（\frac{20}{3}＜t＜8）}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了相似形综合，是一道运动型综合题，涉及到动点型（两个动点）和动线型，运动过程复杂，难度颇大，对同学们的解题能力要求很高．读懂题意，弄清动点与动线的运动过程，是解题的要点．注意第（2）、（3）问中，分别涉及多种情况，需要进行分类讨论，避免因漏解而失分．