Question

【题目】如图，已知直线y1＝﹣x+3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物y2＝ax2+bx+c经过点B，C并与x轴交于点A（﹣1，0）．

（1）求抛物线解析式，并求出抛物线的顶点D坐标　 　；

（2）当y2＜0时、请直接写出x的取值范围　 　；

（3）当y1＜y2时、请直接写出x的取值范围　 　；

（4）将抛物线y2向下平移，使得顶点D落到直线BC上，求平移后的抛物线解析式　 　．

Answer 1

【答案】（1）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝x2+2x+1．

【解析】

（1）列方程得到C（0，3），B（3，0），设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），列方程即可得到结论；

（2）由图象即可得到结论；

（3）由图象即可得到结论；

（4）当根据平移的性质即可得到结论．

解：（1）对于y1＝﹣x+3，当x＝0时，y＝3，

∴C（0，3），

当y＝0时，x＝3，

∴B（3，0），

∵抛物线与x轴交于A（﹣1，0）、B（3，0）两点，

设抛物线解析式为y＝a（x+1）（x﹣3），

抛物线过点C（0，3），

∴3＝a（0+1）（0﹣3），

解得：a＝1，

∴y＝（x+1）（x﹣3）＝x+2x+3，

∴顶点D（1，4）；

（2）由图象知，当y2＜0时、x的取值范围为：x＜﹣1或x＞3；

（3）由图象知当y1＜y2时、x的取值范围为：0＜x＜3；

（4）当x＝1时，y＝﹣1+3＝2，

∵抛物线向下平移2个单位，

∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+3﹣2＝﹣x2+2x+1．

故答案为：（1）（1，4）；（2）x＜﹣1或x＞3；（3）0＜x＜3；（4）y＝x2+2x+1．