分析 (1)根据“旋转函数”的定义求出a2,b2,c2,从而得到原函数的“旋转函数”;
(2)根据“旋转函数”的定义得到$\frac{4}{3}$m=-2n,-2+n=0,再解方程组求出m和n的值,然后根据乘方的意义计算;
(3)先根据抛物线与坐标轴的交点问题确定A(-1,0),B(4,0),C(0,2),再利用关于原点对称的点的坐标特征得到A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2),则可利用交点式求出经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-1)(x+4)=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-2,再把y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)化为一般式,然后根据“旋转函数”的定义进行判断.
解答 (1)解:∵a1=-1,b1=3,c1=-2,
∴-1+a2=0,b2=3,-2+c2=0,
∴a2=1,b2=3,c2=2,
∴函数y=-x2+3x-2的“旋转函数”为y=x2+3x+2;
(2)解:根据题意得$\frac{4}{3}$m=-2n,-2+n=0,解得m=-3,n=2,
∴(m+n)2015=(-3+2)2015=-1;
(3)证明:当x=0时,y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)=2,则C(0,2),
当y=0时,-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)=0,解得x1=-1,x2=4,则A(-1,0),B(4,0),
∵点A、B、C关于原点的对称点分别是A1,B1,C1,
∴A1(1,0),B1(-4,0),C1(0,-2),
设经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=a2(x-1)(x+4),把C1(0,-2)代入得a2•(-1)•4=-2,解得a2=$\frac{1}{2}$,
∴经过点A1,B1,C1的二次函数解析式为y=$\frac{1}{2}$(x-1)(x+4)=$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x-2,
而y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)=-$\frac{1}{2}$x2+$\frac{3}{2}$x+2,
∴a1+a2=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$=0,b1=b2=$\frac{3}{2}$,c1+c2=2-2=0,
∴经过点A1,B1,C1的二次函数与函数y=-$\frac{1}{2}$(x+1)(x-4)互为“旋转函数.
点评 本题考查了二次函数的综合题:熟练掌握关于原点对称的两点的坐标特征;会求二次函数图象与坐标轴的交点和待定系数法求二次函数解析式;对新定义的理解能力.
科目:初中数学 来源: 题型:选择题
A. | 等边三角形是等腰三角形 | B. | 如果ab=0,那么a=0且b=0 | ||
C. | 如果a>0,b<0,那么ab<0 | D. | 全等三角形的面积相等 |
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科目:初中数学 来源: 题型:填空题
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