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已知直角三角形ABC和ADC有公共斜边AC,M、N分别是AC,BD中点,且M、N不重合.
(1)线段MN与BD是否垂直?请说明理由;
(2)若∠BAC=30°,∠CAD=45°,AC=4,求MN的长.
(1)线段MN与BD垂直.
连接MB与MD,由直角三角形斜边上的中线等于斜边长的一半,可以知道
MB=
AC
2
,MD=
AC
2
,所以MB=MD.
三角形MBD中,N是底边上的中点,等腰三角形的性质可以说明:
MN垂直BD.

(2)如图一:连接BM、MD,延长DM,过B作DM延长线的垂线段BE,
∵M是AC的中点,
∴MD⊥AC,△BCM是等边三角形,
∴在Rt△BEM中,∠EMB=30°,
∵AC=4,∴BM=2,
∴BE=1,EM=
3
,MD=2,
从而可知
BD=
1+(2+
3
)
2
=2
2+
3

∴BN=
2+
3

由Rt△BMN可得:
MN=
22-(
2+
3
)
2
=
2-
3

如图二:连接BM、MD,延长AD,过B作垂线段BE,
∵M、N分别是AC,BD中点,
∴MD=
1
2
AC,MB
1
2
AC,
∴MD=MB,
∵∠BAC=30°,∠CAD=45°,
∴∠BMC=60°,∠DMC=90°,
∴∠BMD=30°,
∴∠BDM=
180-30
2
=75°,
∵∠MDA=45°
∴∠EDB=180°-∠BDM-∠MDA=60°,
令ED=x,则BE=
3
x,AD=2
2
,AB=2
3

∴由Rt△ABE可得:(2
3
2=(
3
x)2+(x+2
2
2
解得x=
2-
3
,则BD=2
2-
3

∵M、N分别是AC,BD中点,
∴MD=2 DN=
2-
3

由Rt△MND可得:
MN=
22-(
2-
3
)
2
=
2+
3
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3
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