Question

已知：如图①，点C为线段AB上一点，△ACM和△CBN都是等边三角形，AN，BM交于点P，则△BCM≌△NCA，易证结论：①BM=AN．
（1）请写出除①外的两个结论：②

∠MBC=∠ANC

；③

∠BMC=∠NAC

．
（2）将△ACM绕点C顺时针方向旋转180°，使点A落在BC上．请对照原题图形在图②画出符合要求的图形．（不写作法，保留作图痕迹）
（3）在（2）所得到的下图②中，探究“AN=BM”这一结论是否成立．若成立，请证明：若不成立，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）可根据全等三角形的对应角相等和对应边相等来得出结论；
（2）旋转三要素：①旋转中心； ②旋转方向； ③旋转角度；
（3）通过证△ANC和△BCM全等来得出AN=BM．

解答：解：（1）∵△BCM≌△NCA，
∴∠MBC=∠ANC、∠BMC=∠NAC．

（2）旋转中心是点C，旋转角度是180°，旋转方向是绕点C顺时针旋转．所得的图形如图所示：
；

（3）成立．
证明：∵△NBC和△AMC都是等边三角形，
∴在△CAN和△MCB中，

BC=CN ∠MCB=∠NCA=60° MC=AC

，
∴△CAN≌△MCB（SAS）；
∴AN=BM．
故答案是：∠MBC=∠ANC；∠BMC=∠NAC．

点评：本题主要考查等边三角形的性质和全等三角形的判定，根据全等三角形来得出相等的边和角是解题的关键．