Question

如图，海中有一个小岛P，它的周围25海里内有暗礁，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点A测得小岛P在北偏东60°方向上，航行30海里到达B点，此时测得小岛P在北偏东30°方向上．
（1）求渔船在B点时与小岛P的距离？
（2）如果鱼船不改变航线继续向东航行，有没有触礁的危险？并说明理由．

Answer 1

考点：解直角三角形的应用-方向角问题

专题：

分析：（1）别在点A和点B的正北方向取点D、E．画射线BE，根据方向角的定理证得∠APB=∠PAB，即可根据等角对等边求解；
（2）过点P作PF⊥AB与F，在直角△PBF中，利用三角函数求得PF的长，与25海里比较大小即可．

解答：解：（1）分别在点A和点B的正北方向取点D、E．画射线BE．
根据题意得：∠DAP=60°，∠EBP=30°，
∴∠PAB=30°，∠ABP=120°，
∴∠APB=∠PAB，
∴PB=AB=30（海里）；
（2）没有触礁危险．
理由：过点P作PF⊥AB与F．
∵∠PBF=90°，∠EBP=60°，
∴在直角△PBF中，
PF=PB•sin∠PBF=30×

3

2

=15

3

，
∵PF²=675，25²=625，
∴PF＞25，
∴没有触角危险．

点评：本题主要考查解直角三角形在实际问题中的应用，构造直角三角形是解题的前提和关键．