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    问题：已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的2倍。

    解：设所求方程的根为y，则y=2x，所以

    把代入已知方程，得

    化简，得：

    故所求方程为

    这种利用方程根的代换求新方程的方法，我们称为“换根法”。请阅读材料提供的“换根法”求新方程（要求：把所求方程化成一般形式）

    （1）已知方程，求一个一元二次方程，使它的根分别是已知方程根的相反数，则所求方程为：

               ；

    （2）已知关于x的一元二次方程有两个不等于零的实数根，求一个一元二方程，使它的根分别是已知方程的倒数。

     

    【答案】

    （1）y2－y－2=0（2）cy2+by+a=0（c≠0）

    【解析】解：（1）y2－y－2=0。

               （2）设所求方程的根为y，则（x≠0），于是（y≠0）。

    把代入方程，得，

    去分母，得a+by+cy2=0。

    若c=0，有，可得有一个解为x=0，与已知不符，不符合题意。

    ∴c≠0。

    ∴所求方程为cy2+by+a=0（c≠0）。

    （1）设所求方程的根为y，则y=－x所以x=－y。

    把x=－y代入已知方程，得y2－y－2=0。

    （2）根据所给的材料，设所求方程的根为y，再表示出x，代入原方程，整理即得出所求的方程。

     

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下列范例，按要求解答问题．
    例：已知实数a、b、c满足a+b+2c=1，a2+b2+6c+
    3
    2
    =0，求a、b、c的值．
    解法1：由已知得a+b=1-2c，①（a+b）2-2ab+6c+
    3
    2
    =0．②
    将①代入②，整理得4c2+2c-2ab+
    5
    2
    =0．∴ab=2c2+c+
    5
    4
    ③
    由①、③可知，a、b是关于t的方程t2-（1-2c）t+2c2+c+
    5
    4
    =0④的两个实数根．
    ∴△=（1-2c）2-4（2c2+c+
    5
    4
    ≥0，即（c+1）2≤0．而（c+1）2≥0，∴c+l=0，c=-1，
    将c=-1代入④，得t2-3t+
    9
    4
    =0．∴t1=t2=
    3
    2
    ，即a=b=
    3
    2
    ．∴a=b，c=-1．
    解法2∵a+b+2c=1，∴a+b=1-2c、设a=
    1-2c
    2
    +t，b=
    1-2c
    2
    -t．①
    ∵a2+b2+6c+
    3
    2
    =0，∴（a+b）2-2ab+6c+
    3
    2
    =0．②
    将①代入②，得（1-2c）2-2(
    1-2c
    2
    +t)(
    1-2c
    2
    -t)    +6c+
    3
    2
    =0．
    整理，得t2+（c2+2c+1）=0，即t2+（c+1）2=0．∴t=0，c=-1．
    将t、c的值同时代入①，得a=
    3
    2
    ，b=
    3
    2
    ．a=b=
    3
    2
    ，c=-1．
    以上解法1是构造一元二次方程解决问题．若两实数x、y满足x+y=m，xy=n，则x、y是关于t的一元二次方程t2-mt+n=0的两个实数根，然后利用判别式求解．
    以上解法2是采用均值换元解决问题．若实数x、y满足x+y=m，则可设x=
    m
    2
    +t，y=
    m
    2
    -t．一些问题根据条件，若合理运用这种换元技巧，则能使问题顺利解决．
    下面给出两个问题，解答其中任意一题：
    （1）用另一种方法解答范例中的问题．
    （2）选用范例中的一种方法解答下列问题：
    已知实数a、b、c满足a+b+c=6，a2+b2+c2=12，求证：a=b=c．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    阅读下面一段文字：“一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的情况有三种：
    ①当b2-4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根；
    ②当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；
    ③当b2-4ac＜0时，方程没有实数根．”请利用以上结论，解答下面的问题：
    已知关于x的一元二次方程x2-（2k+1）x+4（k-
    12
    ）=0．
    （1）判断这个一元二次方程的根的情况；
    （2）若等腰三角形的一边长为4，另两条边的长恰好是这个方程的两个根，求这个等腰三角形的周长．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    23、完成表格，观察表格中的两个根的和与积，它们与原来的方程的系数有什么关系？
    方程 x1 x2 x1+x2 x1x2
    x2-2x=0 0 2
    2
    0
    x2+3x-4=0 -4 1
    -3
    -4
    x2-5x+6=0 2 3
    5
    6
    （1）请用文字语言概括你的发现．
    若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q=0的两根时，x1+x2=-p，x1x2=q

    （2）一般的，对于关于x的方程x2+px+q=0（p、q为常数，p2-4q≥0）的两根为x1，x2，则x1+x2=
    -p
    ，x1x2=
    q

    （3）运用以上发现解决下列问题：已知x1，x2是方程x2-x-3=0的两根，求代数式（1+x1）（1+x2）的值．

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    科目：初中数学 来源： 题型：阅读理解

    请先阅读下面的解题过程，再完成后面的问题．
    已知方程x2+3x+1=0的两个实数根为α，β，求
    α
    β
    +
    β
    α
    的值．
    解：因为△=32-4×1=5＞0，所以α≠β．…①
    由根与系数的关系，得α+β=-3，αβ=1．…．②
    所以
    α
    β
    +
    β
    α
    =
    		α
    		β
    +
    		β
    		α
    =
    α+β
    		αβ
    =
    -3
    1
    =-3    ．…③
    上面的解题过程是否正确？若不正确，指出错在哪一步，并写出正确的解题过程．

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    科目：初中数学 来源： 题型：

    探究发现：
    解下列方程，将得到的解填入下面的表格中，观察表格中两个解的和与积，它们和原来的方程的系数有什么联系？
    （1）x2-2x=0（2）x2+3x-4=0（3）x2-5x+6=0
    方  程 x1 x2 x1+x2 x1•x2
    （1）
    （2）
    （3）
    （1）请用文字语言概括你的发现．
    （2）一般的，对于关于x的方程x2+px+q=0的两根为x1、x2，则x1+x2=
    -p
    -p
    ，x1•x2
    q
    q
    ．
    （3）运用以上发现，解决下面的问题：
    ①已知一元二次方程x2-2x-7=0的两个根为x1，x2，则x1+x2的值为
    B
    B

    A．-2     B．2     C．-7     D．7
    ②已知x1，x2是方程x2-x-3=0的两根，试求（1+x1）（1+x2）和x12+x22的值．

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