Question

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．
（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；
（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；
（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

Answer 1

分析：（1）由已知可得OP=x，OE=y，则PA=4-x，AB=3．利用互余关系可证Rt△POE∽Rt△BPA，由相似比可得y关于x的函数关系式；
（2）此时，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，BD=BA=3，CD=4-3=1，故P（1，0），E（0，1），B（4，3），代入抛物线解析式的一般式即可；
（3）以PE为直角边，则点P可以作为直角顶点，此时∠EPB=90°，B点符合；点E也可以作为直角顶点，采用将直线PB向上平移过E点的方法，确定此时的直线EQ解析式，再与抛物线解析式联立，可求点Q坐标．

解答：解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE=90度．
∴∠OPE+∠APB=90°．
又∵∠APB+∠ABP=90°，
∴∠OPE=∠PBA．
∴Rt△POE∽Rt△BPA．
∴

PO

OE

=

BA

AP

．
即

x

y

=

3

4-x

．
∴y=

1

3

x（4-x）=-

1

3

x²+

4

3

x（0＜x＜4）．
且当x=2时，y有最大值

4

3

．

（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．
设过此三点的抛物线为y=ax²+bx+c，则

c=1 a+b+c=0 16a+4b+c=3

∴

a= 1 2 b=- 3 2 c=1

y=

1

2

x²-

3

2

x+1．

（3）由（2）知∠EPB=90°，即点Q与点B重合时满足条件．
直线PB为y=x-1，与y轴交于点（0，-1）．
将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），
∴该直线为y=x+1．
由

y=x+1 y= 1 2 x2- 3 2 x+1

得

x=5 y=6

∴Q（5，6）．
故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．

点评：本题考查了二次函数解析式的确定方法，及寻找特殊三角形条件的问题，涉及相似与平移的数学方法．