Question

14、已知a+b+c=3，a²+b²+c²=29，a³+b³+c³=45，求ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）的值．

Answer 1

分析：观察ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）即a²b+b²a+c²b+a²c+b²c+c²a是（a+b+c）与（a²+b²+c²）乘积（a³+b³+c³+a²b+b²a+c²b+a²c+b²c+c²a）的一部分，且a³+b³+c³=45，（a+b+c）（a²+b²+c²）=3×29=87
至此问题解决．

解答：解：∵a+b+c=3，a²+b²+c²=29，a³+b³+c³=45
∴（a+b+c）（a²+b²+c²）=3×29=87
a³+b³+c³+a²b+b²a+c²b+a²c+b²c+c²a=87
（a³+b³+c³）+ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=87
45+ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=87
ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）=38

点评：本题考察提取公因式法因式分解及代数式求值．解决本题的关键是想到（a+b+c）与（a²+b²+c²）乘积中包含有ab（a+b）+bc（b+c）+ca（c+a）．