Question

根据以下10个乘积，回答问题：
11×29；  12×28；   13×27；   14×26；   15×25；
16×24；  17×23；   18×22；   19×21；   20×20．
（1）试将以上各乘积分别写成一个“□²-○²”（两数平方差）的形式，并写出其中一个的思考过程；
（2）将以上10个乘积按照从小到大的顺序排列起来；
（3）试由（1）、（2）猜测一个一般性的结论．（不要求证明）

Answer 1

分析：（1）根据要求求出两数的平均数，再写成平方差的形式即可．
（2）减去的数越大，乘积就越小，据此规律填写即可．
（3）根据排列的顺序可得，两数相差越大，积越小．

解答：解：（1）11×29=20²-9²；12×28=20²-8²；13×27=20²-7²；
14×26=20²-6²；15×25=20²-5²；16×24=20²-4²；
17×23=20²-3²；18×22=20²-2²；19×21=20²-1²；
20×20=20²-0²    …（4分）
例如，11×29；假设11×29=□²-○²，
因为□²-○²=（□+○）（□-○）；
所以，可以令□-○=11，□+○=29．
解得，□=20，○=9．故11×29=20²-9²．
（或11×29=（20-9）（20+9）=20²-9²

（2）这10个乘积按照从小到大的顺序依次是：11×29＜12×28＜13×27＜14×26＜15×25＜16×24＜17×23＜18×22＜19×21＜20×20

（3）①若a+b=40，a，b是自然数，则ab≤20²=400．
②若a+b=40，则ab≤20²=400．     …（8分）
③若a+b=m，a，b是自然数，则ab≤(

m

2

)2．
④若a+b=m，则ab≤(

m

2

)2．
⑤若a，b的和为定值，则ab的最大值为(

a+b

2

)2．
⑥若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=…=a_n+b_n=40．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥…≥|a_n-b_n|，
则 a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤…≤a_nb_n．       …（10分）
⑦若a₁+b₁=a₂+b₂=a₃+b₃=…=a_n+b_n=m．且
|a₁-b₁|≥|a₂-b₂|≥|a₃-b₃|≥…≥|a_n-b_n|，
则a₁b₁≤a₂b₂≤a₃b₃≤…≤a_nb_n．
⑧若a+b=m，
a，b差的绝对值越大，则它们的积就越小．
说明：给出结论①或②之一的得（1分）；给出结论③、④或⑤之一的得（2分）；
给出结论⑥、⑦或⑧之一的得（3分）．

点评：本题主要考查整式的混合运算，找出规律是解答本题的关键．